条件方差模型

一般条件方差模型定义

考虑时间序列

y t = μ + ε t ,

在哪里 ε t = σ t z t 。这里，zt是一个独立同分布的一系列标准化随机变量。计量经济学工具箱™支持标准化的高斯和规范学生金宝appt创新分布。常数项， μ 为均值偏移量。

一个条件方差模型指定方差创新的动态演化，

σ t 2 = V 一个 r ( ε t | H t − 1 ) ,

在哪里Ht1就是这个过程的历史。历史上包括:

  • 过去的差异， σ 1 2 , σ 2 2 , … , σ t − 1 2

  • 过去的创新， ε 1 , ε 2 , … , ε t − 1

条件方差模型适用于没有表现出显著的自相关时间序列，但连续依赖性。创新系列 ε t = σ t z t 是不相关的,因为:

  • E(εt）= 0。

  • E(εtε张茵) = 0t和 h • 0。

但是，如果 σ t 2 取决于 σ t − 1 2 ，例如，然后εt取决于εT-1，即使他们是不相关的。这种依赖表现出自己作为自相关平方创新系列， ε t 2 。

提示

建模时间序列，它们都自相关和连续依赖性，你可以考虑使用复合条件均值和方差模型。

金融时间序列两个特点是条件方差模型地址是：

  • 波动聚类。波动性是一个时间序列的条件标准偏差。自相关的条件方差过程产生波动聚类。GARCH模型和方差系列及其变体模型自回归。

  • 杠杆效应。一些时间序列的波动响应更大幅降低，而不是大量增加。这种非对称的集群行为被称为杠杆效应。该EGARCH和GJR模型具有杠杆作用方面这种不对称模型。

GARCH模型

的广义自回归条件异方差GARCH模型是恩格尔方差异方差ARCH模型的扩展<一个href="//www.tatmou.com/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">[1]。如果一个系列显示出波动的聚类，这表明过去的方差可能是当前方差的预测。

GARCH (P,问）模型是自回归移动为条件方差平均模型，与P滞后方差相关的GARCH系数，和问与滞后平方创新相关的ARCH系数。所述GARCH的形式（P,问计量经济学工具箱中的模型是

y t = μ + ε t ,

在哪里 ε t = σ t z t 和

σ t 2 = κ + γ 1 σ t − 1 2 + … + γ P σ t − P 2 + α 1 ε t − 1 2 + … + α 问 ε t − 问 2 。

请注意

的不变财产的garch模型对应于κ,抵消属性对应于μ。

对于平稳性和正性，GARCH模型有如下约束:

  • κ > 0

  • γ 我 ≥ 0 , α j ≥ 0

  • • 我 = 1 P γ 我 + • j = 1 问 α j < 1

指定恩格尔最初的拱门(问）模型，使用等效GARCH（0，问）规范。

EGARCH模型

该指数GARCH（EGARCH）模型是GARCH变体模型的条件方差过程的对数。除了对数模型，该模型EGARCH在波动聚类额外的杠杆作用方面捕捉不对称。

EGARCH (P,问)模型P滞后对数方差项相关的GARCH系数，问与滞后标准化创新量相关的拱系数问与有符号、滞后的标准化创新相关的杠杆系数。执政官的形式(P,问计量经济学工具箱中的模型是

y t = μ + ε t ,

在哪里 ε t = σ t z t 和

日志 σ t 2 = κ + • 我 = 1 P γ 我 日志 σ t − 我 2 + • j = 1 问 α j ( | ε t − j | σ t − j − E { | ε t − j | σ t − j } ] + • j = 1 问 ξ j ( ε t − j σ t − j ) 。

请注意

的不变一个物业EGARCH模型对应于κ,抵消属性对应于μ。

与ARCH系数EGARCH方程相关联的预期值项的形式取决于分布zt:

  • 如果创新分布是高斯分布，则

    E { | ε t − j | σ t − j } = E { | z t − j | } = 2 π 。

  • 如果创新分布是学生t与ν2个自由度

    E { | ε t − j | σ t − j } = E { | z t − j | } = ν − 2 π Γ ( ν − 1 2 ) Γ ( ν 2 ) 。

该工具箱对待EGARCH（P,问作为ARMA的模型 日志 σ t 2 。 因此，为了保证平稳性，GARCH系数多项式的所有根， ( 1 − γ 1 l − … − γ P l P ) ，必须位于单位圆外。

该EGARCH模型与GARCH模型和GJR模型，因为方差的IT模式对数是唯一的。通过对数模型，对模型参数的积极性约束放宽。然而，从EGARCH模型条件方差的预测偏置，因为Jensen不等式，

E ( σ t 2 ) ≥ 经验值 { E ( 日志 σ t 2 ) } 。

EGARCH(1,1)规范对于大多数应用程序来说都足够复杂。对于EGARCH(1,1)模型，GARCH和ARCH系数为正，杠杆系数为负;较大的未预料到的向下冲击应该会增加方差。如果你得到与预期相反的信号，你可能会遇到推断波动序列和预测的困难(负的ARCH系数可能特别有问题)。在这种情况下，EGARCH模型可能不是应用程序的最佳选择。

GJR模型

GJR模型是一种GARCH变体，其中包含用于建模非对称波动率聚类的杠杆术语。在GJR公式中，较大的负面变化比积极变化更有可能聚集在一起。GJR模型是以Glosten、Jagannathan和Runkle的名字命名的<一个href="//www.tatmou.com/help/econ/what-is-a-conditional-variance-model.html" class="intrnllnk">[2]。GJR模型与阈值GARCH (TGARCH)模型之间存在着密切的相似性——GJR模型是方差过程的递归方程，TGARCH是应用于标准差过程的递归。

GJR (P,问)模型P滞后方差相关的GARCH系数，问与滞后平方创新相关的ARCH系数，问与负滞后创新平方相关的杠杆系数。GJR的表格(P,问计量经济学工具箱中的模型是

y t = μ + ε t ,

在哪里 ε t = σ t z t 和

σ t 2 = κ + • 我 = 1 P γ 我 σ t − 我 2 + • j = 1 问 α j ε t − j 2 + • j = 1 问 ξ j 我 ( ε t − j < 0 ] ε t − j 2 。

指标函数 我 ( ε t − j < 0 ] = 1,如果 ε t − j < 0 ，否则为0。因此，杠杆系数被应用于负面创新，给予负面变化额外的权重。

请注意

的不变财产的GJR模型对应于κ,抵消属性对应于μ。

对于平稳性和正性，GJR模型有如下约束:

  • κ > 0

  • γ 我 ≥ 0 , α j ≥ 0

  • α j + ξ j ≥ 0

  • • 我 = 1 P γ 我 + • j = 1 问 α j + 1 2 • j = 1 问 ξ j < 1

GARCH模型嵌套在GJR模型中。如果所有的杠杆系数都为零，则GJR模型简化为GARCH模型。这意味着您可以使用似然比测试将GARCH模型与GJR模型进行对比测试。

参考

自回归条件异方差方差估计与英国通货膨胀。计量经济学。卷。50，1982年，第987-1007。

[2] Glosten, L. R.， R. Jagannathan，和D. E. Runkle。“预期价值与股票名义超额收益波动性之间的关系。”金融杂志。第48卷，第5期，1993年，第1779-1801页。

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