定义资产的整体

的dowPortfolio.xlsx数据集包括30个资产和一个基准。该数据集中的7项资产构成了本例中的投资范围。假设无风险利率为零。

T = readtable (“dowPortfolio.xlsx”）;

定义资产范围并从价格数据中提取资产收益。

assetNames = [“AA”，“美国国际集团”，“京东商城”，“微软”，“BA”，“通用电气”，“IBM”];benchmarkName =“收”；头(T (:,“日期”benchmarkName assetNames]))

ans =8×9表IBM日期收AA AIG京东商城microsoft英航通用电气  ___________ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 03 - 10847年1月- 2006 28.72 68.41 44.9 26.19 68.63 33.6 80.13 04 - 10880年1月- 2006 28.89 68.51 44.99 26.32 69.34 33.56 80.03 05 - 10882年1月- 2006 29.12 68.6 44.38 26.34 68.53 33.47 80.56 06 - 10959年1月- 2006 29.02 68.89 44.56 26.26 67.57 33.7 82.96 09 - 11012年1月- 2006年29.37 68.57 44.4 26.21 67.01 33.61 81.76 2006年1月10日11012 28.44 69.18 44.54 26.35 67.33 33.43 82.1 2006年1月11日11043 28.05 69.6 45.23 26.63 68.33 33.66 82.19 2006年1月12日10962 27.68 69.04 44.43 26.48 67.25 33.25 81.61

retnsT = tick2ret(T(:， 2:end)); / /结束settns = retnsT(:， assetNames);benchRetn = retnsT (:,“收”）;numAssets = size(assetRetns, 2);

指定市场视图

这些观点代表了投资分析师对未来市场变化的主观看法，表示为 $\mathit{问}＝\mathit{P}＊\mu +\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$,在那里v为浏览总数。有关更多信息，请参见附录部分假设和观点具有v观点和k资产, $\mathit{P}$是一个v——- - - - - -k矩阵, $\mathit{问}$是一个v1向量, $\Omega$是一个v——- - - - - -v对角矩阵（表示视图中的独立不确定性）。视图之间不一定独立，视图的结构也不一定独立 $\Omega$，以说明投资分析师对意见的不确定性[4］.越小 ${\omega }_{\mathit{我}}$在里面 $\Omega$的分布方差越小我第三种观点，投资者的观点越强或越确定我视图。这个例子假设有三个独立的视图。

v=3；%共3个视图P = 0 (v, numAssets);Q = 0 (v, 1);ω= 0 (v);%的观点1P (1, assetNames = =“美国国际集团”) = 1;问(1)= 0.05;(1,1) = 1e-3;%视图2P (2, assetNames = =“京东商城”) = 1;问(2)= 0.03;(2,2) = 1e-3;%视图3P (3 assetNames = =“微软”) = 1; P（3，资产名称）==“IBM”) = 1;问(3)= 0.05;(3,3) = 1e-5;

以表格形式可视化这三个视图。

viewTable = array2table([P q diag(Omega)]，“VariableNames”, (assetNames“View_Return”“View_Uncertainty”]）

viewTable =3×9表AA AIG WMT MSFT BA GE IBM视图返回视图不确定度0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

因为从dowPortfolio.xlsx数据集是日报表和视图是在年报表，你必须转换视图为日报表。

bizyear2bizday = 1/252;q = q * bizyear2bizday;ω=ω* bizyear2bizday;

根据历史资产回报估计协方差

$\Sigma$为历史资产收益的协方差。

σ=cov（资产变量）；

定义的不确定性C

Black-Litterman模型假设 $\mathit{C}$与协方差成正比 $\Sigma$．因此, $\mathit{C}＝\tau \Sigma$,在那里 $\tau$是一个小常数。较小的 $\tau$表示对先前的信念有较高的信心 $\mu$．He和Litterman的工作使用的值为0.025。其他作者建议使用1/n在哪里n为生成协方差矩阵所用的数据点个数[3.]。此示例使用1/n．

τ= 1 / (assetRetns大小。变量,1);C =στ*;

市场隐含均衡收益

在没有任何观点的情况下，均衡收益可能等于均衡投资组合持有的隐含收益。在实践中，适用的均衡投资组合持有可以是投资分析师在没有其他市场观点的情况下使用的任何最优投资组合，如投资组合基准、指数，甚至是目前的投资组合[2］.在本例中，您使用线性回归来找到跟踪大疆基准回报率的市场组合。然后，你用市场投资组合作为均衡投资组合，均衡收益是由市场投资组合隐含的。的查找市场端口组合和ImpliedReturn函数，在中定义本地函数，实现均衡收益。此函数将历史资产收益和基准收益作为输入，并输出市场投资组合和相应的隐含收益。

[wtsMarket, PI] = findmarketportfolioanddimpliedreturn (assetRetns。变量,benchRetn.Variables);

计算估计的平均收益和协方差

使用 $\mathit{P}，\mathit{问}，\Omega ，\pi ，$和 $\mathit{C}$使用Black-Litterman模型计算混合资产回报和方差。

你可以计算 $\stackrel{-}{\mu }$和 $\mathrm{冠状病毒}（\mu ）$直接使用这个矩阵运算:

$\stackrel{-}{\mu }＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-1}\pi ］$， $\mathrm{冠状病毒}（\mu ）＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}$

mu_bl = (P ' *(ω\ P) +发票(C)) \ (C \ PI + P”*(ω\问));cov_mu = inv(P'*(ω \P) + inv(C));

比较Black-Litterman模型与预期收益先验信念的混合预期收益 $\pi$，您会发现Black-Litterman模型的预期回报率实际上是先验信念和投资者观点的混合。例如，如下表所示，先验信念假设MSFT和IBM的回报率相似，但在混合预期回报率中，MSFT的回报率比IBM高出4%以上。这一差异是由于强烈认为MSFT的表现优于IBM 5%。

表(assetNames’,π* 252,mu_bl * 252,“VariableNames”, [“资产名称”，．..“Prior_Belief_of_Expected_Return”，“Black_Litterman_Blended_Expected_Return”]）

ans =7×3表该文的研究结果是一个UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢卢Uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuaa 0.19143 0.19012“AIG”0.14432 0.13303“WMT”0.15754 0.1408“MSFT”0.14071 0.17557“BA”0.21108 0.2017“GE”0.13323 0.12525“IBM”0.14816 0.12877

投资组合优化与结果

的投资组合对象实现了马科维茨均值方差投资组合优化框架。使用一个投资组合对象，你可以找到给定风险或回报水平下的有效投资组合，你也可以使夏普比率最大化。

使用估计最大值和投资组合目标为下列投资组合找出夏普比率最大的分配:

端口=组合(“NumAssets”numAssets,“磅”0,“预算”, 1“名字”，“均值-方差”）;port = setAssetMoments(port, mean(assetRetns.Variables)， Sigma);但是= estimateMaxSharpeRatio(港口);portBL =组合(“NumAssets”numAssets,“磅”0,“预算”, 1“名字”，“Black-Litterman的平均方差”）;portBL = setAssetMoments(portBL, mu_bl, Sigma + cov_mu);wtsBL = estimateMaxSharpeRatio (portBL);ax₁=情节(1、2、1);但是idx = > 0.001;派(ax₁,wts (idx), assetNames (idx));标题(ax₁,端口。的名字,“位置”， [-0.05, 1.6, 0]);ax2 =情节(1、2、2);idx_BL = wtsBL > 0.001;派(ax2 wtsBL (idx_BL), assetNames (idx_BL));标题(ax2 portBL。的名字,“位置”， [-0.05, 1.6, 0]);

表（资产名称、wts、wtsBL、，“VariableNames”, [“AssetName”，“Mean_Variance”，．..“与黑人的平均方差”]）

ans =7×3表AssetName Mean_Variance Mean_Variance_with_Black_Litterman  _________ _____________ __________________________________ " AA“1.9677 e-14 0.1115”美国国际集团(AIG)“1.7967 e15汽油0.23314”京东商城“6.1761 e-16 0.098048”微软0.059393 - 0.15824“BA”0.32068 - 0.10748“通用电气”2.2324 e-13 0.1772“IBM”0.61993 - 0.11439

当你在均值-方差优化中使用来自Black-Litterman模型的混合资产回报和协方差值时，最优配置直接反映了投资分析师的观点。Black-Litterman模型的分配更为多样化，如饼图所示。此外，Black-Litterman模型中资产的权重与投资分析师的观点一致。例如，当您将Black-Litterman结果与普通的均值-方差优化结果进行比较时，您可以看到Black-Litterman结果在MSFT上的投资比在IBM上的投资更多。这是因为投资分析师强烈认为，微软的表现将超过IBM。

本地函数

作用[wtsMarket, PI] = findmarketportfolioanddimpliedreturn (assetRetn, benchRetn)找出跟踪基准的市场投资组合及其相应的隐含预期回报。

隐含的回报是通过反向优化计算的。假设无风险利率为零。利用Markowitz优化问题给出了投资组合优化的一般公式: $$\underset{\omega }{\mathrm{参数}\mathrm{最大值}}{\omega }^T\mu -\frac{\delta }{2}{\omega }^T\Sigma \omega$$．在这里 $$\omega$$是一个N-资产权重的元素向量， $$\mu$$是一个N-期望资产收益的元素向量， $$\Sigma$$是N——- - - - - -N资产收益协方差矩阵 $$\delta$$为正风险厌恶参数。鉴于 $\delta$，在没有约束的情况下，该问题的封闭形式解决方案是 $$\omega ＝\frac{1}{\delta }{\Sigma }^{-1}\mu$$．因此，对于一个市场组合，隐含的预期收益为 $$\pi ＝\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$．有关计算带有约束条件(例如，预算约束)的隐含回报的更多信息，请参阅Herold的著作[5］.

要计算隐含的预期回报，您需要 $$\Sigma ，{\omega }_{米kt}，\delta$$．

1)找到 $$\Sigma$$．

$$\Sigma$$根据历史资产收益率计算。

西格玛=cov（资产负债表）；

2)找到市场组合。

要找到市场组合，逆大疆回归。强加的约束是完全投资和长期的: $$\underset{我＝1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_{我}＝1，0\le {\omega }_{我}，\forall 我\in ｛1，．．．，n｝$$

numAssets =大小(assetRetn, 2);磅= 0(1、numAssets);Aeq = 1(1、numAssets);说真的= 1;选择= optimoptions (“lsqlin”，“算法”，“内点”，“显示”，“关”）;wtsMarket = lsqlin(assetRetn, benchRetn， []， []， Aeq, Beq, LB， []， []， opts);

3)找到 $$\delta$$．

两边同时乘以 $$\pi ＝\delta \Sigma {\omega }_{米kt}$$与 $${\omega }_{米kt}^T$$输出 $$\delta ＝\frac{\mathrm{年代}h\mathrm{一个}rpeR\mathrm{一个}t我o}{{\sigma }_{米}}$$．这里假设基准是夏普比率的最大值，用相应的值作为市场夏普比率。或者，你可以将夏普比率校准为0.5，这将导致shpr=0.5/√6(252) (1］. $${\sigma }_{米}$$为市场组合的标准差。

shpr=平均值（benchRetn）/std（benchRetn）；delta=shpr/sqrt（wtsMarket'*Sigma*wtsMarket）；

4)计算隐含的预期收益。

假设市场投资组合使夏普比率最大化，隐含回报（不受约束的影响）直接计算为 $$\pi ＝\delta \Sigma \omega$$［5］.

PI=δ*σ*WTS市场；结束

附录:贝叶斯框架下的Black-Litterman模型

假设和观点

假设投资领域是由k资产和资产回报向量 $\mathit{r}$是一个随机变量，遵循一个多元正态分布 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$． $\Sigma$为历史资产回报的协方差。未知的模型参数是预期收益 $\mu$．从贝叶斯统计的角度，Black-Litterman模型试图估计 $\mu$通过结合投资分析师的观点(或“对未来的观察”)和一些先验知识 $\mu$．

此外，假设先验知识 $\mu$是正态分布的随机变量吗 $\mu ～\mathit{N}（\pi ，\mathit{C}）$［1、2］.在没有任何意见(观察)的情况下，先前的平均值 $\pi$很可能是均衡收益，隐含于均衡投资组合持有。在实践中，适用的均衡投资组合持有不一定是均衡投资组合，而是投资分析师在缺乏其他市场观点(如投资组合基准、指数甚至当前投资组合)的情况下会使用的目标最优投资组合。 $\mathit{C}$表示先验中的不确定性，Black-Litterman模型假设 $\mathit{C}$是 $\tau \Sigma$． $\tau$是一个小常数，许多作者使用不同的值。详细讨论 $\tau$可在[3.］.

为了进行统计推断，观测是必要的 $\mu$．在Black-Litterman模型中，观察结果是对在投资组合水平上表示的未来资产回报的看法。一个观点是一个投资组合的预期回报组成的宇宙k资产。通常，投资组合回报具有不确定性，因此会添加一个误差项来捕捉偏差。假设共有v的观点。对于一个视图 $\mathit{我}$， ${\mathit{p}}_{\mathit{我}}$行向量的维数是1x吗k和 ${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$是标量[2］.

${\mathit{问}}_{\mathit{我}}$＝ ${\rm E}［{\mathit{p}}_{\mathit{我}}＊\mathit{r}|\mu ］+{\epsilon }_{\mathit{我}}，\mathit{我}＝1，2，．．．，\mathit{v}$

你可以把v视图垂直和 $\Omega$为各角度不确定性的协方差。假设不确定性是独立的。

$\mathit{问}＝{\rm E}［\mathit{P}＊\mathit{r}|\mu ］+\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$．

请注意, $\Omega$不一定是对角矩阵。投资分析师可以选择结构 $\Omega$以说明他们意见的不确定性[4］.

在先前的假设下 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$，这就引出了

$\mathit{问}＝\mathit{P}＊\mu +\epsilon ，\epsilon ～\mathit{N}（0，\Omega ），\Omega ＝\mathrm{诊断接头}（{\omega }_1，{\omega }_2，．．．{\omega }_{\mathit{v}}）$．

Black-Litterman模型的贝叶斯定义

根据贝叶斯统计，已知： $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能}＊\mathrm{之前}$．

在Black-Litterman模型的背景下， $\mathrm{后}\propto \mathrm{可能}＊\mathrm{之前}$表示为 $\mathit{f}（\mu |\mathit{问}）$ $\propto$ $\mathit{f}（\mathit{问}|\mu ）$＊ $\mathit{f}（\mu ），$其中，每个贝叶斯术语的定义如下[2]：

如前所述，后验分布 $\mu$也是正态分布。通过完成平方，你可以得到后验均值和协方差 $\stackrel{-}{\mu }＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{问}+{\mathit{C}}^{-1}\pi ］$， $\mathrm{冠状病毒}（\mu ）＝{［{\mathit{P}}^{\mathit{T}}{\Omega }^{-1}\mathit{P}+{\mathit{C}}^{-1}］}^{-1}$．

最后，结合Bayesian后验分布 $\mu$以及资产回报模型 $\mathit{r}～\mathit{N}（\mu ，\Sigma ）$，则资产回报的后验预测为 $\mathit{r}～\mathit{N}（\stackrel{-}{\mu }，\Sigma +\mathrm{冠状病毒}（\mu ））$．

参考文献