离散小波和离散小波包变换

下图显示了一维输入信号的DWT树。

图1：DWT树向下1级，为1 D输入信号。

$$\underset{}{\overset{\sim }{G}}(F)$$是缩放（低通）分析滤波器和 $$\underset{}{\overset{\sim }{H}}(F)$$表示小波（高通）分析滤波器。底部的标签显示频率轴[0,1/2]划分为子带。

该图显示DWT的后续电平仅在低通（缩放）输出上运行滤波器。在每一级，DWT将信号分为倍频带。在临界采样DWT中，带通滤波器的输出在每一级下采样两次。在非抽样离散小波变换中，输出不下采样。

比较DWT树和完整的小波包树。

图2：完整的小波包树下降到第3级。

在小波包变换中，也对小波系数或细节系数进行滤波操作。结果是，小波包为输入信号提供了一种子带滤波，逐步细化等宽区间。在每一个层面上, $$J$$，频率轴[0,1/2]分为 $${2.}^J$$部分波段。以赫兹为单位的子频带 $$J$$大约

$$[\frac{NFs}{{2.}^{J+1.}},\frac{(N+1.)Fs}{{2.}^{J+1.}})N=0,1.,\dots {2.}^J-1.$$哪里 $$\text{财政司司长}$$是采样频率。

这种带通近似的好坏取决于滤波器的频率局部化程度。对于Fejér-Korovkin过滤器，如“fk18”(18个系数)，近似相当好。对于像Haar (“哈尔”），近似不准确。

在临界采样小波包变换中，带通滤波器的输出由两个降采样。在非降采样小波包变换中，输出不降采样。

小波包时频分析

由于小波包将频率轴划分成比DWT更精细的间隔，小波包在时频分析中具有优越性，作为一个例子，在加性噪声中考虑两个频率为150和200 Hz的间歇性正弦波，在1 kHz处采样数据，以防止临界SAMP中固有的时间分辨率的丢失。led小波包变换，采用非抽样变换。

dt=0.001；t=0:dt:1-dt；x=...cos（2 * pi * 150 * t）。*（t> = 0.2＆t <0.4）+ sin（2 * pi * 200 * t）。*（t> 0.6＆t <0.9）;y = x + 0.05 * randn（尺寸（t））;[wpt，〜，f] = modwpt（x，'timealign',真正的);轮廓(t、f * (1 / dt), abs (wpt)。^ 2)网格在包含(‘时间（秒）’）ylabel（'赫兹')标题('时频分析 - 未定义的小波包变换')

请注意，小波包变换能够分离150和200 Hz分量。对于DWT而言，情况并非如此，因为150和200 Hz属于同一倍频带。四级DWT的倍频带为（以Hz为单位）

证明这两个分量是DWT时间局部化的，但在频率上没有分离。

mra=modwtmra（modwt（y，“fk18”,4),“fk18”）;j = 5：-1：1;freq = 1/2 *（1000./2.^J）;轮廓（t，freq，flipud（abs（mra）。^ 2））网格在ylim（[0 500]）xlabel(‘时间（秒）’）ylabel（'赫兹')标题(“时频分析——非抽样小波变换”)

当然，连续小波变换(CWT)提供了比小波包变换更高的时频分析分辨率，但是小波包具有作为正交变换的额外优势(当使用正交小波时)。正交变换意味着信号中的能量被保留下来，并在下一节演示的系数之间进行分割。

小波包变换中的能量保存

小波包变换除了在每一层将信号过滤成等宽的子带外，还将信号的能量在子带之间进行分割。这对于抽取小波包变换和未抽取小波包变换都是正确的。要演示这一点，请加载包含地震记录的数据集。这个数据类似于下面信号分类示例中使用的时间序列。

负载科比绘图（神户）网格在包含(“秒”)标题(“神户地震数据”)轴心紧

获取数据的抽取和未抽取小波包变换，直到第3级。为保证抽取小波包变换结果的一致性，将边界扩展模式设为“周期性”．

wptreeDecimated=dwpt（神户、，“水平”3,“边界”,“周期性”); wptUndecimated=modwpt（神户，3）；

计算被抽取和未抽取小波包三级系数中的总能量，并与原始信号中的能量进行比较。

decimatedEnergy = sum(cell2mat(cellfun(@(x) sum(abs(x).²))，wptreeDecimated，“UniformOutput”，false）））

decimatedEnergy = 2.0189 e + 11

未抽取能量=总和（总和（绝对绝对值（wptUndecimated）。^2,2））

未升华能=2.0189e+11

signalEnergy =规范(科比,2)^ 2

signalEnergy = 2.0189 e + 11

DWT与小波包变换具有这一重要特性。

wt=modwt（神户、，“fk18”，3）；未抽样数据能量=总和（总和（绝对重量）^2,2））

未抽样数据能量=2.0189e+11

由于每一层的小波包变换将频率轴分成等宽的区间，并将信号能量在这些区间中进行分割，因此通常只需保留每个小波包中的相对能量，就可以构造有用的特征向量进行分类。下一个示例演示了这一点。

小波包分类——地震还是爆炸？

地震记录从许多来源捕捉到活动。能够根据活动的起源对其进行分类是很重要的。例如，地震和爆炸可能呈现相似的时域特征，但区分这两个事件是非常重要的。数据集地震xplosiondata.包含具有2048个样品的16条记录。前8个录音（柱）是地震的地震记录，最后8次录音（专栏）是爆炸的地震记录。加载数据并绘制地震和爆炸记录以进行比较。数据从R包Astsa Stoffer取出[4]，它补充了Shumway和Stoffer[3]．作者好心地允许在这个例子中使用它。

绘制每组的时间序列以进行比较。

负载地震xplosiondata.子地块（2,1,1）图（EarthQuakeExplosionData（：，3））xlabel(“时间”)标题(“地震记录”)网格在轴紧子图（2,1,2）绘图（地震explosiondata（:,9））xlabel（“时间”)标题(“爆炸记录”)网格在轴紧

将每个时间序列分解到第三级，形成小波包特征向量“fk6”具有非抽样小波包变换的小波。这将产生8个子带，宽度约为1/16个循环/样本。使用每个子带中的相对能量创建特征向量。作为示例，获得第一次地震记录的小波包相对能量特征向量。

[WPT，〜，F，E，Re] = Modwpt（地震explosiondata（：，1），3，“fk6”）;

重新包含8个子带中每个子带的相对能量。如果将重新，等于1。请注意，这是数据的显著减少。长度为2048的时间序列减少为一个包含8个元素的向量，每个元素表示3级小波包节点中的相对能量。辅助函数helperEarthQuakeExplosionClassifier使用“fk6”小波。这将产生一个16×8的矩阵，并使用这些特征向量作为kmeans分类器的输入。分类器使用间隙统计准则来确定1到6之间的特征向量的最佳聚类数，并对每个向量进行分类。此外，分类器对使用该方法获得的第3级未抽取小波变换系数执行完全相同的分类“fk6”每个时间序列的小波和功率谱。非抽样小波变换产生16×4矩阵（3个小波子带和1个缩放子带）。功率谱形成16×1025矩阵。的源代码helperEarthQuakeExplosionClassifier列在附录中。要运行分类器，必须有统计学和机器学习工具箱™和信号处理工具箱™。

水平= 3;[WavPacketCluster, WtCluster PspecCluster] =...Helperearearthquakeexplosionclassifier（地震explosiondata，水平）

WavPacketCluster=GapEvaluation with properties:NumObservations:16检查k:[1 2 3 4 5 6]标准值：[-0.0039 0.0779 0.1314 0.0862 0.0296-0.0096]最佳值：2

WtCluster=GapEvaluation with properties:NumObservations:16检查K:[1 2 3 4 5 6]标准值：[-0.0095 0.0474 0.0706 0.0260-0.0280-0.0346]最佳值：2

PspecCluster = GapEvaluation with properties: NumObservations: 16 InspectedK: [1 2 34 56] CriterionValues: [0.3804 0.3574 0.3466 0.2879 0.3256 0.3326] OptimalK: 1

WavPacketCluster是未抽取小波包特征向量的聚类输出。WT集群是使用未抽取DWT特征向量的聚类输出，以及pspeccluster.是基于功率谱的聚类的输出。小波包分类识别了两个聚类(K:2)作为最优数，检验小波包聚类的结果。

res=[WavPacketCluster.Optimality（1:8）'；WavPacketCluster.Optimality（9:end）']

res=2×8.1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2

你可以看到，只有两个错误被发现。在八次地震记录中，有七次被归为一类（第二组）一个被错误地归类为第1组。8个爆炸记录也是如此——7个被归类在一起，1个被错误归类。基于三级未抽样DWT和功率谱的分类返回一个簇作为最佳解决方案。

如果重复上述等于4的级别，则未传定的小波变换和小波包变换相同。两者都识别两个集群，以及将第一个和最后一次序列分类为属于另一组的群集。

结论

在这个例子中，您学习了小波包变换与离散小波变换的区别。具体来说，小波包树还过滤小波(细节)系数，而小波变换只迭代缩放(近似)系数。

您了解到，小波包变换分享DWT的重要节能，同时提供卓越的频率分辨率。在一些应用中，这种卓越的频率分辨率使小波包变换了DWT的有吸引力的替代方案。

附录

helperEarthQuakeExplosionClassifier

函数[WavPacketCluster，WtCluster，pspecluster]=帮助器EarthQuakeExplosionClassifier（数据，级别）%此函数仅用于支持特征示例金宝app%waveletpacketsdemo.mlx。%此功能可能在将来的版本中更改或删除。％数据 - 具有单个时间序列的数据矩阵作为列向量。%级别-小波包和小波变换的级别NP=2^级；NW=标高+1；WpMatrix=0（16，NP）；WtMatrix=零（16，NW）；对于JJ = 1：8 [〜，〜，〜，〜，RE] = MODWPT（数据（：，JJ），级别，“fk6”）;wt = modwt(数据(:,jj)水平,“fk6”); WtMatrix（jj，：）=sum（abs（wt）。^2,2）。/norm（Data（：，jj），2）^2；WpMatrix（jj，：）=RE；终止对于kk=9:16[，，，，，，，RE]=modwpt（数据（：，kk），电平，“fk6”)；wt=modwt（数据（：，kk），电平，“fk6”)矩阵（kk，：）=sum（abs（wt）。^2,2）。/norm（Data（：，kk），2）^2；矩阵（kk，：）=RE；终止%重复性RNG（'默认'）;WavPacketCluster = Evallusters（WPMatrix，'kmeans',“差距”,'klist',1:6,...'距离',“城市街区”)；WtCluster=评估聚类（wt矩阵，'kmeans',“差距”,'klist',1:6,...'距离',“城市街区”); Pxx=周期图（数据，汉明（numel）（数据（：，1）），[]，1，“权力”）;PspecCluster = evalclusters (Pxx ','kmeans',“差距”,'klist',1:6,...'距离',“城市街区”）;终止