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宽泛线性系统

行数少于列数的宽泛线性系统没有唯一的解。如果您不太清楚要计算的是什么，则很难计算。您可以通过添加一个附加条件来确定该解：最小化其欧几里德或$\ell金宝搏官方网站u 2$范数。这是摩尔-彭罗斯解。它是唯一的，并且具有许多其他特性呃理想的性能。

但近年来，在许多情况下，需要一个不同的条件：最小化解的非零分量的数量。这种解决方案称为稀疏的。实际上，最小化非零组件的数量在组合上是困难的。（这是NP难的。）但是，MATLAB反斜杠运算符生成的解决方案最多为M非零分量。这通常是最小值。

举出例子

选择尺寸。

m=3 n=10

m=3 n=10

断言（m短的

生成一个包含随机一位正整数和负整数项的m-x-n矩阵。每次执行此脚本时，都会出现不同的A.是创建的。

A=randi（18，m，n）-9

A=027-824-630023-76739-3-1413-8-2-7-615

生成具有相同行数的随机右侧。

b=randi（18，m，1）-9

b=506

保存rhs的副本。

b_copy=b；

反斜杠

使用反斜杠计算A*x=b的多种可能解之一。金宝搏官方网站

x=A\b

x=0.0-0.51950.2812-0.19530

这个x是稀疏的; 它只有m个非零分量。

x是如何计算的？使用列旋转计算QR分解。即A*P=Q*R，具有正交Q、右梯形R和置换P。

[Q，R，P]=qr（A）

0.6247-0.6247-0.0 0 0 0.6247-0.0 0 0.7 7 7-0.7 7 7 7 0.7 7 7 7 0.7 7 7 0.7 9 9 9 0.749 0 0.7 7 7 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 0 0 0 0.7 7 7 0 0 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

只保留R的前m列。

R=R（：，1:m）

R=12.8062 1.7179 3.5920 0-9.3834 4.3876 0-6.3911

将Q应用于右侧。

b=Q'*b

b=-6.8716-3.4960 1.2483

反向替换求解正方形、三角形系统R*x=b。

x=R\b

x=-0.5195 0.2812-0.1953

在x的末尾加上一些零，与从R中删除的列数相匹配。

x（m+1:n）=0

x=-0.5195 0.2812-0.1953 0

撤消排列。

x=P*x

x=0.0-0.51950.2812-0.19530

广义逆矩阵

恢复rhs。

b=b_拷贝；

为了进行比较，可以使用Moore-Penrose伪逆获得最小2-范数解。这通常是完全满的；它的所有组件都不是零。

y=pinv（A）*b

y=0.0644 0.0655 0.1261-0.2161 0.0475-0.1481-0.2034 0.1164-0.1232 0.0612

x和y都是原始系统的解决方案。金宝搏官方网站

Ax=A*x Ay=A*y

Ax=5.0000 0.0000 6.0000 Ay=5.0000-0.0000 6.0000

然而常模（y，2）小于范数（x，2）。

normyx=[norm（y）norm（x）]

normyx=0.4112 0.6222

SVD

要计算y而不计算伪逆，请使用SVD。

[U，S，V]=svd（A）

U=-0.5601 0.2006-0.8038 0.3872 0.9211-0.0399-0.7324 0.3336 0.5936 S=第1列至第7列20.2128 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.1459 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.3091 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0列8至第10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2761 0.5246 0.0340 0.0342 0 0 0.0342 00.4955 -0.0865 0.1040 0.1695 0.6265 0.0828 0.1735 0.5967 -0.1499 -0.2918 -0.1873 0.1511 0.4082 -0.3700 -0.0089 0.7338 -0.0647 0.1593 0.4219 -0.0247 -0.1275 -0.1803 -0.1248 0.8221 -0.0885 0.3262 -0.3940 0.1662 -0.1806 0.0969 -0.1350 0.7663 0.0530 0.6091 -0.2620 -0.0174 -0.2910 -0.0377 0.2134 0.2324 -0.3586 -0.5571 0.1057 -0.0492 -0.0517 -0.0236 -0.2003 0.0493 0.3620-0.0193 0.1110.0645-0.0210第8列至第10列-0.1425 0.4068-0.2429-0.6536 0.0165 0.1666 0.0216-0.4643 0.2127-0.0817-0.1943 0.1656-0.2858-0.0944 0.1226-0.0609-0.21520.1524 0.1853-0.1585 0.0614 0.6475 0.0133 0.0785 0.0450-0.6800.870.1951

然后，用适当的括号，用一个包含对角矩阵的反斜杠，找到最小范数解就是一条线性。

y=V*（S\（U'*b））

y=0.0644 0.0655 0.1261-0.2161 0.0475-0.1481-0.2034 0.1164-0.1232 0.0612

问题

关于宽敞的系统，有很多我不知道的事情。

1.

有边界吗范数（x）/范数（y）?

2.

条件数A.关于任何规范，可由

条件（A）=最大值（范数（A*x）/范数（x））/min（范数（A*x）/范数（x））

我们知道，对于2-范数，这是奇异值的比率。那么1-范数或inf-范数呢？我们如何计算呢？

3.

用反斜杠计算的解的残差和误差可以证明什么？我怀疑残差很小，但当解决方案不是唯一的时，错误是什么？

4.

这是什么分布？

kmax=10000；kappa=零（kmax，1）；对于k=1:kmaxa=randi（18，m，n）-9；kappa（k）=cond（A）；终止直方图（kappa）标题("条件(A)")ax=轴；文本（0.7*ax（2），0.8*ax（4），sprintf('m=%2d，n=%2d'，m，n）

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