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系统识别的概述

系统识别是一种利用系统输入和输出信号的测量来建立动态系统数学模型的方法。

系统识别过程要求您:

在时域或频域测量系统的输入和输出信号。
选择一个模型结构。
应用估计方法对候选模型结构中的可调参数进行估计。
评估估计的模型，看看该模型是否满足您的应用程序需求。

动态系统和模型

在动态系统中，输出信号的值取决于输入信号的瞬时值以及系统的过去行为。例如，汽车座椅是动态系统 - 座椅形状（沉降位置）取决于乘客（瞬时值）的当前重量和乘客在汽车中乘坐的时间（过去行为）。

一个模型是系统输入变量和输出变量之间的数学关系。动态系统的模型通常用微分或差分方程、传递函数、状态空间方程和极零增益模型来描述。

你可以用连续时间和离散时间两种形式来表示动态模型。

一个常用的动力学模型例子是弹簧-质量-阻尼系统的运动方程。如下图所示，质量在力的作用下运动F（t)施加在物体附着的底座上。这个系统的输入和输出就是力F（t）和位移y（t),分别。

连续时间动态模型实例

您可以将相同的物理系统表示为几个等价的模型。例如，可以将连续时间下的质量-弹簧-阻尼系统表示为二阶微分方程:

$米 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + c \frac{d y}{d t} + k y （ t ）＝ F （ t ）$

这里，米质量，k是弹簧的刚度常数，和c是阻尼系数。这个微分方程的解决方案让您确定质量的位移y（t），作为外力的函数F（t)随时t已知的常数值米，c,k．

考虑流离失所y（t)和速度 $v （ t ）＝ \frac{d y （ t ）}{d t}$ 状态变量:

$x （ t ）＝［ \begin{matrix} y （ t ） \\ v （ t ） \end{matrix} ］$

你可以将前面的运动方程表示为系统的状态空间模型:

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} ＝一个 x （ t ） + B F （ t ） \\ y （ t ）＝ C x （ t ） \end{array}$

的矩阵一个，B,C与常数有关吗米，c,k如下：

$\begin{matrix} 一个＝［ \begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{米} & - \frac{c}{米} \end{matrix} ］ \\ B ＝［ \begin{matrix} 0 & \frac{1}{米} \end{matrix} ］ \\ C ＝［ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} ］ \end{matrix}$

您也可以获得传递函数模型通过拍摄微分方程的拉普拉斯变换来振弹力系统：

$G （年代）＝ \frac{Y （年代）}{F （年代）} ＝ \frac{1}{（米 {年代}^{2} + c 年代 + k ）}$

这里，年代是拉普拉斯变量。

离散时间动态模型实例

假设您只能观察输入和输出变量F（t),y（t）在离散时间瞬间的质量弹簧阻尼系统t＝nT_年代,在那里T_年代是一个固定的时间间隔和n= 0, 1, 2，…．据说变量是抽样样品时间T_年代．然后，可以用二阶差分方程表示采样的输入输出变量之间的关系，例如

$y （ t ） + {一个}_{1} y （ t - T_{年代} ） + {一个}_{2} y （ t - 2 T_{年代} ）＝ b F （ t - T_{年代} ）$

通常，为简单起见，T_年代被视为一个时间单位，并且可以写入等式

$y （ t ） + {一个}_{1} y （ t - 1 ） + {一个}_{2} y （ t - 2 ）＝ b F （ t - 1 ）$

这里，一个₁和一个₂为模型参数。模型参数与系统常数有关米，c,k，以及采样时间T_年代．

该差异方程显示了模型的动态性质。时刻的位移值t不仅取决于力量F在前一个时间时刻，也对前两个时间时刻的位移值y（t-1）和y（t-2）．

你可以用这个方程来计算某一特定时间的位移。位移表示为过去输入和输出值的加权和:

$y （ t ）＝ b F （ t - 1 ） - {一个}_{1} y （ t - 1 ） - {一个}_{2} y （ t - 2 ）$

该等式示出了产生输出值的迭代方式y（t)从初始条件开始y（0),y（1)和输入的测量F（t）。调用此计算模拟．

或者，给定时间的输出值t可以使用计算测量前两个时间点的输出值和前一个时间点的输入值。调用此计算预测．有关使用模型进行模拟和预测的更多信息，请参阅模拟和预测页面。

您还可以代表状态空间和传送功能形式的离散时方程，通过执行类似于所描述的转换连续时间动态模型实例．

在系统识别中使用测量数据

系统识别使用从系统测量的输入和输出信号来估计给定模型结构中可调参数的值。您可以使用时域输入输出信号、频率响应数据、时间序列信号和时间序列频谱构建模型。

要获得系统的好模型，您必须具有测量数据，反映系统的动态行为。您的模型的准确性取决于测量数据的质量，反过来取决于您的实验设计。

时域数据

时域数据由在一段时间内以统一采样间隔记录的系统的输入和输出变量组成。

例如，如果你测量输入的力F（t)和质量位移y（t)的弹簧-质量-阻尼系统动态系统和模型在均匀的采样频率为10 Hz，您可以获得以下测量值的向量：

$\begin{array}{l} u_{米 e 一个年代} ＝［ F （ T_{年代} ）， F （ 2 T_{年代} ）， F （ 3. T_{年代} ），．.. ， F （ N T_{年代} ）］ \\ y_{米 e 一个年代} ＝［ y （ T_{年代} ）， y （ 2 T_{年代} ）， y （ 3. T_{年代} ），．.. ， y （ N T_{年代} ）］ \end{array}$

这里，T_年代= 0.1秒,NT_年代是最后测量的时间。

如果你想建立从这个数据，数据向量离散时间模型u_MEAS和y_MEAS和采样时间T_年代提供用于创建这样的模型的足够信息。

如果要构建连续时间模型，您还必须在实验期间知道输入信号的差异行为。例如，输入可以是分段常数（零阶保持）或样本之间的分段线性（一阶保持）。

频域数据

频域数据表示您在频域中录制或存储的系统输入和输出变量的测量值。频域信号是相应的时域信号的傅里叶变换。

频域数据也可以表示系统的频率响应，由给定频率范围内的复响应值集表示。的频率响应描述对正弦输入的输出。如果输入是带有频率的正弦波ω.然后，输出也是相同频率的正弦波，其幅度是一个（ω.）相对于输入信号的输入信号幅度和φ（ω）的相移。频率响应是一个（ω.)^(我Φ(ω)．

在质量 - 弹簧 - 阻尼器系统的情况下，可以通过使用一个正弦输入力和测量在一定范围的输入频率的响应的相应振幅增益和相移获得的频率响应数据。

您可以使用频域数据来构建系统的离散时间和连续时间模型。

数据质量要求

系统标识要求您的数据捕获系统的重要动态。良好的实验设计确保您测量正确的变量，具有足够的准确性和持续时间，以捕获您想要建模的动态。一般来说，你的实验必须:

使用能够充分激发系统动力的输入。例如，单步激励是不够的。
测量足够长的数据以捕获重要的时间常数。
建立具有良好信噪比的数据采集系统。
在适当的采样间隔或频率分辨率测量数据。

您可以在使用本文中描述的功能和技术构建模型之前分析数据质量分析数据．例如，您可以分析输入频谱，以确定输入信号是否有足够的功率超过系统的带宽。要获得对特定数据的分析和处理建议，请使用建议．

您还可以分析你的数据，以确定峰值频率，输入延迟，重要的时间常数，并使用非参数分析工具在这个工具箱的非线性的指示。您可以使用这些信息来配置模型结构，从数据建立模型。有关更多信息，请参阅：

从数据构建模型

模型结构

一个模型结构是包含未知参数的输入和输出变量之间的数学关系。模型结构的例子是具有可调极点和零点的传递函数，具有未知系统矩阵的状态空间方程，以及非线性参数化函数。

下面的差分方程表示了一个简单的模型结构:

$y （ k ） + 一个 y （ k - 1 ）＝ b u （ k ）$

这里，一个和b可调参数。

系统识别过程要求您选择模型结构，并应用估计方法来确定模型参数的数值。

您可以使用以下方法之一来选择模型结构:

您希望一个能够重现测量数据的模型，尽可能简单。您可以尝试工具箱中可用的各种数学结构。调用这种建模方法黑盒建模。
您希望您的模型的特定结构，您可能从第一个原则派生，但不知道其参数的数值。您可以将模型结构表示为Matlab中的一组方程或作为状态空间系统^®并根据数据估计其参数值。这种方法被称为灰盒子建模。

估计模型参数

系统识别工具箱™软件通过最小化模型输出和测量响应之间的误差来估计模型参数。输出y_模型线性模型是由

y_模型（t）=Gu（t）

这里，G的传递函数。

来确定G，工具箱最小化模型输出之间的差异y_模型（t）和测得的输出y_MEAS（t）。的最小化准则是误差的加权范数，v（t),

v（t）=y_MEAS（t) - - -y_模型（t）．

y_模型（t)是其中之一:

模拟响应(Gu（t)的模型u（t）
对于给定的输入模型的预测响应u（t)和过去的输出测量值(y_MEAS（t - 1)，y_MEAS（2），...）

因此,错误v（t)称为模拟误差或者预测错误．估计算法调整所述模型结构的参数G这样，这个错误的范数就越小越好。

配置参数估计算法

您可以通过配置估计算法：

配置最小准则以将估计集中在所需的频率范围内，例如，更加强调较低的频率而弱化较高频率的噪声贡献。您还可以将标准配置为针对模型的预期应用程序需求，例如模拟或预测。
为迭代估计算法指定优化选项。
这个工具箱中的大多数估计算法都是迭代的。您可以通过指定选项来配置迭代估计算法，例如优化方法和最大迭代次数。

有关配置估计算法的详细信息，请参阅配置丢失功能选项以及估计特定模型结构的主题。

黑箱建模

选择黑箱模型结构和顺序

无论模型的特定数学结构如何，黑匣子建模都很有用。该工具箱提供了多种线性和非线性黑匣子型结构，传统上具有代表动态系统的用途。这些模型结构的复杂性因灵活性而变化，您需要在系统中进行动态和噪声所需的灵活性。您可以选择其中一个结构并计算其参数以适合测量的响应数据。

黑盒建模通常是一个试错过程，在这个过程中您估计各种结构的参数并比较结果。通常，您从简单的线性模型结构开始，然后逐步发展到更复杂的结构。您还可以选择一个模型结构，因为您更熟悉这个结构，或者因为您有特定的应用程序需求。

最简单的线性黑盒结构需要配置的选项最少:

转换功能与极点和零点的给定数量
线性ARX模型，这是最简单的输入-输出多项式模型
状态空间模型，您可以通过指定模型状态的数量来估计

的一些这些结构的估计也使用非迭代估计算法，这进一步降低了复杂性。

控件可以配置模型结构模型订单．模型顺序的定义根据您选择的型号类型而异。例如，如果选择传输函数表示，则模型顺序与杆和零的数量有关。对于状态空间表示，模型顺序对应于状态的数量。在某些情况下，例如用于线性ARX和状态空间模型结构，您可以从数据中估算模型顺序。

如果简单的模型结构不能产生好的模型，可以通过以下方法选择更复杂的模型结构:

为相同的线性模型结构指定更高的模型顺序。更高的模型顺序增加了捕获复杂现象的模型灵活性。但是，不必要的高阶可以使模型不太可靠。
通过包括包括的噪声显式建模He（t）术语，如下面的等式所示。
y（t）=Gu（t）+He（t）
这里，H通过处理扰动如由白噪声源驱动的线性系统的输出模式的添加剂干扰e（t）。
使用模型结构，明确车型添加剂扰动有利于提高测量元件的精度G．此外，当你的主要兴趣是使用模型来预测未来的响应值这样的模型结构是非常有用的。
使用不同的线性模型的结构。
看到线性模型结构．
采用非线性模型结构。
非线性模型在捕获复杂现象方面具有比类似订单的线性模型更具灵活性。看到非线性模型结构．

最终，您可以选择最简单的模型结构，以提供最适合您的测量数据。有关更多信息，请参阅使用快速入门估算线性模型．

不管您选择什么样的结构进行评估，您都可以根据应用程序的需要简化模型。例如，你可以分离出测量的动态(G)的噪声动力学(H）获取更简单的模型，表示只是关系之间的关系y和u．您还可以线性化关于操作点的非线性模型。

使用非线性模型结构

线性模型通常足以准确描述系统动态，在大多数情况下，最佳实践是首先尝试拟合线性模型。如果线性模型输出不能充分地再现测量的输出，您可能需要使用非线性模型。

您可以通过将系统的响应绘制到输入来评估使用非线性模型结构的需要。如果您注意到响应根据输入级别或输入符号而不同，请尝试使用非线性模型。例如，如果对输入步骤的输出响应比对下降的响应快，则可能需要一个非线性模型。

在构建您知道非线性的系统的非线性模型之前，请尝试转换输入和输出变量，使得转换变量之间的关系是线性的。例如，考虑一个具有电流和电压的系统作为输入到浸入式加热器的输入，以及加热液体的温度作为输出。输出取决于通过加热器的功率的输入，其等于电流和电压的乘积。代替为这两个输入和单输出系统构建非线性模型，可以通过乘坐电流和电压和构建描述功率和温度之间关系的线性模型来创建新的输入变量。

如果无法确定在输入和输出变量之间产生线性关系的可变变换，则可以使用非线性结构，例如非线性ARX或Hammerstein-Wiener模型。对于支持的非线性模型结构列表金宝app以及何时使用它们，请参阅非线性模型结构．

黑盒评价实施例

您可以使用系统识别应用程序或命令来估计各种结构的线性和非线性模型。在大多数情况下，您可以使用单个命令选择模型结构并估计模型参数。

考虑中描述的质量弹簧阻尼系统动态系统和模型．如果你不知道这个系统的运动方程，可以用黑盒建模方法来建立一个模型。例如，您可以通过指定这些模型结构的订单估计传递函数或状态空间模型。

传递函数是多项式的比值:

$G （年代）＝ \frac{（ b_{0} + b_{1} 年代 + b_{2} {年代}^{2} + ．.. ）}{（ 1 + f_{1} 年代 + f_{2} {年代}^{2} + ．.. ）}$

对于质量-弹簧阻尼系统，传递函数为

$G （年代）＝ \frac{1}{（米 {年代}^{2} + c 年代 + k ）}$

这是一个没有零和两个极点的系统。

在离散时间下，质量-弹簧-阻尼系统的传递函数为

$G （ z^{- 1} ）＝ \frac{b z^{- 1}}{（ 1 + f_{1} z^{- 1} + f_{2} z^{- 2} ）}$

其中模型订单对应于分子和分母的系数数量（注= 1和nf= 2)，输入输出延迟等于的最低阶指数z¹在分子中(nk= 1)。

在连续时间条件下，可以用特遣部队命令。

m =特遣部队(数据、2 0)

这里，数据你测量的输入-输出数据是否表示为anIDDATA对象，模型的阶数为极点数(2)与零点数(0)的集合。

类似地，您可以使用oe命令。

m = OE（数据，[1 2 1]）

模型顺序为[nb nf nk] = [１２１］．通常情况下，你不会提前知道订单的型号。尝试多个模型订单值，直到找到生成可接受模型的订单。

或者，您可以选择一个状态空间结构来表示质量-弹簧-阻尼系统，并使用估计模型参数党卫军或者N4SID命令。

米= ssest（数据，2）

在这里，第二个参数2表示模型中状态的顺序或数量。

在黑箱建模中，你不需要系统的运动方程——只需要对模型顺序的猜测。

有关构建模型的更多信息，请参见步骤使用系统识别应用和模型估计的命令．

灰色矩形建模

在某些情况下，你可以推断出从物理原理模型结构。例如，输入力之间，并在弹簧 - 质量 - 阻尼系统的产生的质量位移的数学关系中所示动态系统和模型是众所周知的。在状态空间形式下，模型由

$\begin{array}{l} \frac{d x}{d t} ＝一个 x （ t ） + B F （ t ） \\ y （ t ）＝ C x （ t ） \end{array}$

在哪里x（t) = (y（t）;v（t）]是状态矢量。系数一个，B,C是模型参数的函数:

A = [0 1;- - - - - -k/米- - - - - -c/米］

B = [0;1／米］

c = [1 0]

在这里，你完全知道模型的结构，但不知道它的参数值-米，c,k．

在灰盒方法中，您使用数据来估计模型结构的未知参数的值。你可以在MATLAB中通过一组微分或差分方程来指定模型结构，并为指定的未知参数提供一些初始猜测。

通常，您可以通过以下方式构建灰度盒模型：

创建模板模型结构。
配置与初始值和约束（如果有的话）的模型参数。
对模型结构进行估计，计算模型参数值。

下表总结了指定灰盒模型结构的方法。

灰色矩形结构表征了解更多

灰色矩形结构表征	了解更多
将状态空间模型结构表示为结构化`中的难点`模型对象并估计状态空间矩阵一个，B,C．您可以计算参数值，例如米，c,k，由状态空间矩阵得到一个和B．例如，米= 1 /B（2和k= -一个（2,1）米．	估计具有规范参数化的状态空间模型用结构化参数化估计状态空间模型
表示状态空间模型结构作为`idgrey`模型对象。您可以直接估计参数的值米，c,k．	灰色矩形模型估计

将状态空间模型结构表示为结构化中的难点模型对象并估计状态空间矩阵一个，B,C．

您可以计算参数值，例如米，c,k，由状态空间矩阵得到一个和B．例如，米= 1 /B（2和k= -一个（2,1）米．

表示状态空间模型结构作为idgrey模型对象。您可以直接估计参数的值米，c,k．灰色矩形模型估计

评估型号质量

评估模型后，可以通过以下方法评估模型质量:

最终，您必须根据模型是否充分满足应用程序的需求来评估模型的质量。有关其他可用模型分析技术的信息，请参见模型分析．

如果您没有获得令人满意的模型，可以通过尝试不同的模型结构，更改估计算法设置或执行其他数据处理来迭代地提高结果。如果这些更改不会提高结果，您可能需要重新审视您的实验设计和数据收集程序。

比较模型响应和实测响应

通常，您通过比较相同输入信号的模型响应与测量输出来评估模型的质量。

假设您使用黑匣子建模方法来创建弹簧质量系统的动态模型。您尝试各种模型结构和订单，例如：

MODEL1 = ARX（数据，[2 1 1]）;MODEL2 = N4SID（数据，3）

您可以使用特定输入模拟这些模型，并将它们的响应与应用于真实系统的相同输入的位移的测量值进行比较。下图比较了步进输入的模拟和测量响应。

这个数字表明模型2比Model1.因为模型2更符合数据(65% vs. 83%)。

拟合百分比表示模型响应和所测量的输出之间的协议：100种手段完美契合，0表示差的拟合（即，模型输出具有相同的拟合所测量的输出作为平均所测量的输出的）．

有关的更多信息，请参阅将输出数据与测量数据进行比较页面。

分析残差

系统识别工具箱软件允许您执行剩余分析以评估模型质量。残差代表估计模型未解释的输出数据的部分。一个良好的模型具有与过去的投入不相关的残留物。

有关更多信息，请参阅剩余分析页面。

分析模型不确定性

当您从数据中估计模型参数时，您将获得它们在置信区域内是准确的标称值。该区域的大小由估计过程中计算的参数不确定性的值决定。不确定性的大小为模型的可靠性提供了衡量标准。不必要的高模型阶数、输入数据的激励水平不足以及测量数据的低信噪比都会导致参数的不确定性。

您可以使用零点图、波德响应图和阶跃响应图计算和可视化参数不确定性对模型响应在时间和频率域的影响。例如，在下面的估计模型的波德图中，阴影区域表示模型频率响应的幅值和相位的不确定性，使用参数中的不确定性进行计算。图中显示，仅在5 ~ 50 rad/s频率范围内不确定度较低，说明模型仅在该频率范围内是可靠的。

有关更多信息，请参阅计算模型不确定性．

资源

系统识别工具箱文档为您提供了使用本产品的必要信息。可以帮助您了解有关系统识别理论和应用的具体方面的更多资源。

以下书描述了系统识别和物理建模的方法：

Ljung，Lennart和Torkel很高兴。动态系统建模．Prentice Hall信息和系统科学系列。Englewood Cliffs, NJ: PTR Prentice Hall, 1994。

这些书提供了关于系统识别理论和算法的详细信息:

Ljung Lennart。系统识别：用户理论．第二版。Prentice Hall信息和系统科学系列。上鞍河，新泽西州:PTR Prentice Hall, 1999。
Söderström, Torsten和peter Stoica。系统识别．Prentice Hall International系列在系统和控制工程中。纽约：1989年Prentice Hall。

有关使用频域数据的信息，请参阅下面的书:

Pintelon, Rik和Johan Schoukens。系统辨识。一种频域法．Hoboken，NJ：John Wiley＆Sons，2001. https://doi.org/10.1002/0471723134。

有关非线性识别的信息，请参阅以下参考文献:

Sjöberg，乔纳斯，清华张，Lennart Ljung，Albert Benveniste，Bernard Delyon，Pierre-Yves Glorennec，HåkanHjalmarsson和Anatoli Juditsky。“系统识别中的非线性黑匣子建模：统一概述。”自动31日。12(1995年12月):1691-1724。https://doi.org/10.1016/0005 - 1098(95) 00120 - 8。
juitsky, Anatoli, Håkan Hjalmarsson, Albert Benveniste, Bernard Delyon, Lennart Ljung, Jonas SjÖberg，张庆华。系统辨识中的非线性黑箱模型:数学基础自动31日。12（1995年12月）：1725-50。https://doi.org/10.1016/0005-1098(95)00119-1。
张庆华，Albert Benveniste。“小波网络。”IEEE交易神经网络3，不。6（1992年11月）：889-98。https://doi.org/10.1109/72.165591。
张,清华。“小波网络在非参数估计中的应用”。IEEE交易神经网络8,不。2(1997年3月):227-36。https://doi.org/10.1109/72.557660。

有关系统和信号的详细信息，请参阅下面的书籍：