威尔金森的多项式

发布的克里夫硅藻土,2013年3月4日,

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威尔金森的多项式是一个家庭的polynmials看似敏感的根源。

内容

P_n美元

度n有美元的威尔金森多项式根的整数n美元从$ 1 $。

$ $ P_n (x) = \ prod_ {k = 1} ^ {n} (x-k) $ $

美元P_ {20} $

通常的n是20美元的价值。

格式紧凑的n = 20信谊xP20 = prod (x - (1: n))

n = 20 P20 = (x - 1) * (x - 2) * (x - 3) * (x - 4) * (x - 5) * (x - 6) * (x - 7) * (x - 8) * (x - 9) * (x - 10) * (x - 11) * (x - 12) * (x - 13) * (x - 14) * (x - 15) * (x - 16) * (x - 17) * (x - 18) * (x - 19) * (x - 20)

用这种形式表达,多项式表现好。

系数

它变得有趣当美元P_n (x)是单项的基础上扩大美元,美元\ {x ^ j \} $。

P =扩大(P20)

P = x ^ 20 - 210 * x ^ 19 + 20615 * x ^ 18 - 1256850 * x ^ 17 + 1256850 * x ^ 16 - 1672280820 * x ^ 15 + 1672280820 * x x ^ ^ 14 - 756111184500 * 13 + 11310276995381 * x ^ 12 - 135585182899530 * x ^ 11 + 135585182899530 * x ^ 10 - 10142299865511450 * x ^ 9 + 10142299865511450 * x x ^ ^ 8 - 311333643161390640 * 7 + 1206647803780373360 * x ^ 6 - 1206647803780373360 * x ^ 5 + 8037811822645051776 * x ^ 4 - 8037811822645051776 * x ^ 3 + 13803759753640704000 * x ^ 2 - 13803759753640704000 * x + 2432902008176640000

系数是巨大的。常数项20美元!美元,甚至不是最大的系数。

C = flipud(多项式系数(P)”)

C = 1 -210 20615 -1256850 53327946 -1672280820 40171771630 -756111184500 40171771630 -1672280820 53327946 -1256850 63030812099294896 -311333643161390640 1206647803780373360 -3599979517947607200 8037811822645051776 -3599979517947607200 1206647803780373360 -311333643161390640 63030812099294896

象征性的形式

让我们有了象征性的工具箱生成乳胶和剪切和粘贴结果的源的博客。

L =乳胶(P);%编辑(左)

$ $ x ^ {20} - 210 \, x ^ {19} + 20615 \, x ^ {18} \ \ - 1256850 \, x ^ {17} + 53327946 \, x ^ {16} - 1672280820 \, x ^ {15} \ \ + 40171771630 \, x ^ {14} - 756111184500 \, x ^ {13} + 11310276995381 \, x ^ {12} \ \ - 135585182899530 \, x ^ {11} + 1307535010540395 \, x ^ {10} - 10142299865511450 \, x ^ 9 \ \ + 63030812099294896 \, x ^ 8 - 311333643161390640 \, x ^ 7 + 1206647803780373360 \, x ^ 6 \ \ - 3599979517947607200 \, x ^ 5 + 8037811822645051776 \, x ^ 4 - 12870931245150988800 \, x ^ 3 \ \ + 13803759753640704000 \, x ^ 2 - 8752948036761600000 \, x + 2432902008176640000 $ $

与单项基础威尔金森多项式不会看起来很无辜的。根之间的间距相对于这些系数很小。但工具箱可以很容易地找到根1美元到20美元,美元没有错误。

Z =排序(解决(P))

Z =[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12日,13日,14日,15日,16日,17日,18日,19日,20)

双精度

象征性的形式转换为双精度浮点数。

格式长ep = sym2poly (p) ';c = flipud(多项式系数(poly2sym (p)))

c = 1 -210 20615 -1256850 53327946 -1672280820 40171771630 -756111184500 40171771630 -1672280820 53327946 -1256850 63030812099294896 -311333643161390656 1206647803780373248 -3599979517947607040 8037811822645051392 -3599979517947607040 1206647803780373248 -311333643161390656 63030812099294896

五个系数不能用双精度格式表示。他们一直不安。

δ=碳碳

δ= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 112 -160 384 -512 0 0 0

双精度的根

多项式的根与双精度系数不再是1:20。最大的扰动发生的根源16和17。

z =排序(根(p));fmt =“% 25.16 f \ n”;流(fmt, z)

0.9999999999997972 2.0000000000475513 2.9999999973842115 4.0000000600349486 4.9999992200080809 6.0000064898423089 6.9999645183068031 8.0001214537649652 8.9997977879058215 9.9997884273944386 11.0021078422257670 11.9944660326764140 13.0076639325972590 13.9958171375909190 14.9955431043450050 16.0114122070902880 16.9888815075391190 18.0060272186900080 18.9981637365860050 20.0002393259700360

威尔金森的扰动

威尔金森做出了不同的微扰,一个深思熟虑的舍入误差机到第二个系数,-210美元的美元。他改变了这个系数由2美元^{-23}$,发现几根被驱动到复杂的飞机。

我不确定^ \匕首对美元威尔金森的扰动的迹象,让我们来做。这是一部电影,一个GIF动画,根轨迹的复平面所产生的扰动。它显示的根轨迹9美元到20美元的美元

$ $ P_ {20} (x) - \αx ^ {19} $ $

当我们改变\α在美元范围

$ $ \α= \下午2 ^ {- k}, k = 23日……,36$$ The roots $1$ to $8$ stay real for perturbations in this range. Wilkinson's result is at the end of either the red or the black trajectories.

灵敏度

与一个小的微分计算,我们可以得到一个解析表达式的敏感性根威尔金森的扰动。作为每一根x美元\α和区分美元以下的函数方程\α美元。

$ $ P_ {20} (x) - \αx ^ $ $ {19} = 0

在\α= 0美元,我们有

$ $ \压裂{dx} {d \α}= \压裂{x ^ {19}} {P_ (x)} {20}“$ $

这是容易评估。

pprime = sym2poly (diff (P20));xdot = 0 (n, 1);为k = 1: n xdot k (k) = ^ 19 / polyval (pprime k);结束格式短exdot

xdot = -8.2206 e-18 8.1890 e-11 -1.6338 e-06 2.1896 -6.0774 5.8248 e-01 e + e 03 01 -2.5424 e + 03 5.9698 e + 04 -8.3916 7.5994 e + e + 05 06年-4.6378 1.9894 e + e + 07年08年-6.0434 1.3336 e + e + 08年09年-2.1150 e + 09年2.4094 e + 09年-1.9035 e + 09年9.9571 e + 08年-3.0901 e + e + 07年08年4.3100

在27个数量级的敏感性不同,最大的价值又在16和17美元美元。这是一个日志的阴谋。