主要内容

伽马分布

概述

gamma分布是一个双参数曲线族。gamma分布模型对指数分布的随机变量进行求和，并推广了卡方分布和指数分布。

统计和机器学习工具箱™ 提供了几种使用gamma分布的方法。

参数

gamma分布使用以下参数。

参数 描述 金宝app
A. 形状 A.> 0
B 规模 B> 0

标准的伽马分布有单位尺度。

具有形状参数的两个gamma随机变量之和A.1.和A.2.两者都带有比例参数B是带有形状参数的随机变量吗A.=A.1.+A.2.和比例参数B．

参数估计

这个似然函数是作为参数的函数的概率密度函数(pdf)。这个最大可能估计(MLEs)是参数估计，最大的似然函数的固定值x．

的极大似然估计A.和B对于伽马分布，是联立方程的解金宝搏官方网站

日志 A. ^ − ψ ( A. ^ ) = 日志 ( x ¯ / ( ∏ 我 = 1. N x 我 ) 1. / N ) B ^ = x ¯ A. ^

在哪里 x ¯ 是样本的平均值吗x1.,x2., …,xN,和Ψ二格函数是什么ψ．

为了拟合伽玛分布到数据和找到参数估计，使用格姆菲特,健身师,或大中型企业不像格姆菲特和大中型企业，返回参数估计值，健身师返回拟合的概率分布对象GammaDistribution．对象属性A.和B存储参数估计值。

有关示例，请参见将Gamma分布拟合到数据．

概率密度函数

分布的pdf是

Y = F ( x | A. , B ) = 1. B A. Γ ( A. ) x A. − 1. E − x B ,

其中Γ(·)为Gamma函数。

有关示例，请参见计算伽马分布pdf．

累积分布函数

伽马分布的累积分布函数(cdf)为

P = F ( x | A. , B ) = 1. B A. Γ ( A. ) ∫ 0 x T A. − 1. E − T B D T ．

结果P从伽玛分布中单独观察到参数的概率是多少A.和B在间隔[0]中下降x］．

有关示例，请参见计算伽马分布cdf．

cdf与不完全函数有关gammainc通过

F ( x | A. , B ) = gammainc ( x B , A. ) ．

逆累积分布函数

用伽马cdf表示的伽马分布的逆累积分布函数(icdf)为

x = F − 1. ( P | A. , B ) = { x : F ( x | A. , B ) = P } ,

在哪里

P = F ( x | A. , B ) = 1. B A. Γ ( A. ) ∫ 0 x T A. − 1. E − T B D T ．

结果x是一个值，该值可以通过参数从伽马分布进行观测A.和B落在范围[0]内x)的概率P．

前面的积分方程没有已知的解析解。加米夫使用迭代方法（牛顿法）收敛于解。

描述性统计

分布的均值是A.B．

分布的方差是A.B2.．

例子

将Gamma分布拟合到数据

打开实时脚本

生成一个One hundred.带有形状的随机数3.和规模5.．

x=gamrnd（3,5100,1）；

用。拟合伽马分布到数据健身师．

pd=fitdist（x，“伽马”)
a = 2.7783 [2.1374, 3.61137] b = 5.73438 [4.30198, 7.64372]

健身师返回一个GammaDistribution对象。参数估计值旁边的区间是分布参数的95%置信区间。

估计参数A.和B使用分布函数。

[muhat, muci] = gamfit (x)分布比函数
穆哈特=1×22.7783 5.7344
粘液=2×22.1374 4.3020 3.6114 7.6437
[muhat2, muci2] =大中型企业(x,“分配”,“伽马”)%泛型函数
muhat2 =1×22.7783 5.7344
muci2 =2×22.1374 4.3020 3.6114 7.6437

计算伽马分布pdf

打开实时脚本

用几个形状和尺度参数计算伽玛分布的pdf文件。

x=0:0.1:50；y1=gampdf（x，1,10）；y2=gampdf（x，3,5）；y3=gampdf（x，6,4）；

绘制PDF。

图形图（x，y1）保持在情节(x, y2)情节(x, y3)关包含(“观察”) ylabel (的概率密度)传说(‘a=1，b=10’,'a = 3, b = 5','a = 6, b = 4')

图中包含一个轴对象。轴对象包含3个类型为line的对象。这些对象代表a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4。

计算伽马分布cdf

打开实时脚本

使用几个形状和比例参数计算伽马分布的CDF。

x = 0:0.1:50;日元= gamcdf (x 1 10);y2 = gamcdf (x, 3、5);y3 = gamcdf (x 6 4);

绘制CDF。

图形图（x，y1）保持在情节(x, y2)情节(x, y3)关包含(“观察”) ylabel (“累积概率”)传说(‘a=1，b=10’,'a = 3, b = 5','a = 6, b = 4',“地点”,“西北”)

图中包含一个轴对象。轴对象包含3个类型为line的对象。这些对象代表a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4。

比较伽马分布和正态分布PDF

打开实时脚本

分布具有形状参数 A. 尺度参数 B ．对于一个大 A. ，伽马分布与平均值的正态分布非常接近 μ = ab 和方差 σ 2. = A. B 2. ．

使用参数计算伽马分布的pdf一个= 100和b=5．

一个= 100;b = 5;x = 250:750;y_gam = gampdf (x, a, b);

为了进行比较，计算gamma近似的正态分布的平均值、标准偏差和pdf。

mu=a*b
mu=500
西格玛=sqrt（a*b^2）
西格玛=50
y_norm=normpdf（x，mu，sigma）；

在同一个图上绘制伽马分布和正态分布的pdf。

情节(x, y_gam,'-'，x，y_范数，'-.')标题(“伽马和正常PDF”)包含(“观察”) ylabel (的概率密度)传说(“伽马分布”,“正态分布”)

图中包含一个轴对象。标题为Gamma和Normal pdfs的axis对象包含两个类型为line的对象。这些对象表示伽马分布，正态分布。

正态分布的pdf近似于伽马分布的pdf。

相关分布

  • 贝塔分布-贝塔分布是一个具有参数的双参数连续分布A.(第一个形状参数)和B（第二个形状参数）。如果X1.和X2.具有带形状参数的标准伽马分布A.1.和A.2.那么分别 Y = X 1. X 1. + X 2. 有一个带有形状参数的beta分布A.1.和A.2.．

  • 卡方分布—卡方分布是一种具有参数的单参数连续分布ν(自由度)。卡方分布等于2=ν和B=2.．

  • 指数分布-指数分布是一种具有参数的单参数连续分布μ(的意思)。指数分布等于A.= 1和B=μ. 总数K具有均值的指数分布随机变量μ分布有参数吗A.=K和μ=B．

  • 中川分布-Nakagami分布是具有形状参数的两参数连续分布µ和比例参数ω．如果x有一个Nakagami分布，那么x2.有一个分布A.=μ和A.B=ω．

  • 正态分布—正态分布是一种具有参数的双参数连续分布μ（平均数）及σ（标准偏差）。什么时候A.较大时，伽马分布近似于正态分布μ=A.B和σ2.=A.B2.。有关示例，请参阅比较伽马分布和正态分布PDF．

参考文献

阿布拉莫维茨、米尔顿和艾琳·a·斯特根编。数学函数手册:有公式，图形，和数学表. 9多佛印刷。；[Nachdr.der Ausg.von 1972]。多佛的数学书籍。纽约：多佛公共图书馆，2013年。

[2] 埃文斯、梅兰、尼古拉斯·黑斯廷斯和布赖恩·皮科克。统计分布第二版。纽约：J.威利，1993年。

[3] 哈恩、杰拉尔德J.和塞缪尔S.夏皮罗。工程统计模型. 威利经典图书馆。纽约：威利，1994年。

[4] 无法无天的，杰拉德F。生命周期数据的统计模型和方法第二版。概率统计中的威利系列。霍博肯，N.J:威利国际科学，2003。

[5] 米克、威廉·Q.和路易斯·A·埃斯科瓦尔。可靠性数据的统计方法．概率与统计中的威利级数。应用概率及统计科。纽约:Wiley, 1998。

[6] Marsaglia, George和Wai Wan Tsang。"一种生成Gamma变量的简单方法"数学软件上的ACM事务26日,没有。3(2000年9月1日):363-72。https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8．

另见

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