滞后算子表示法

这个滞后算子L作用于一个时间序列Y_T以致 $$L^{我}{Y}_T=Y_{T-我}$$．

一M系数的次滞后多项式B_1.,B_2.,...,B_M定义为

在滞后算子表示法中，你可以用无限次多项式写出一般的线性模型 $$\psi (L)=(1.+{\psi }_{1.}L+{\psi }_{2.}{L}^{2.}+\dots ),$$

您无法使用有限的数据量估计具有系数的无限次多项式的模型。然而，如果 $$\psi (L)$$是一个有理多项式（或近似有理），您可以将它（至少近似地）写成两个有限次多项式的商。

定义Q度多项式 $$\theta (L)=(1.+{\theta }_{1.}L+{\theta }_{2.}{L}^{2.}+\dots +{\theta }_Q{L}^Q)$$和P度多项式 $$\varphi (L)=(1.+{\varphi }_{1.}L+{\varphi }_{2.}{L}^{2.}+\dots +{\varphi }_P{L}^P)$$. 如果 $$\psi (L)$$是理性的,那么

因此，根据沃尔德定理，你可以将每个平稳随机过程建模（或近似）为

哪个有P+Q系数（有限数）。

特征方程

学位P特征多项式线性时间序列模型的研究 $$Y_T={\varphi }_{1.}{Y}_{T-1.}+{\varphi }_{2.}{Y}_{T-2.}+\mathrm{...}+{\varphi }_P{Y}_{T-P}+{\epsilon }_T$$是

这是评估序列是平稳过程的另一种方法。例如，特征方程 $$Y_T=\mathrm{0．5}{Y}_{T-1.}-0.02Y_{T-2.}+{\epsilon }_T$$是 $$\varphi (\mathrm{A.})={\mathrm{A.}}^{2.}-\mathrm{0．5}\mathrm{A.}+\mathrm{0.02.}$$

根齐次特征方程 $$\varphi (\mathrm{A.})=0$$(称为特征根)确定线性时间序列是否平稳。如果每一个根都在 $$\varphi (\mathrm{A.})$$在单位圆内，则过程是静止的。如果根的绝对值小于1，那么根就在单位圆内。如果一个或多个根位于单位圆内(即绝对值为1)，这就是一个单位根过程。继续这个例子，的特征根 $$\varphi (\mathrm{A.})=0$$是 $$\mathrm{A.}=\{0.4562,0.0438\}．$$由于这些根的绝对值小于1，线性时间序列模型是平稳的。