線形代数- MATLAB和Sim金宝appulink MathWorks日本 - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

線形代数

MATLAB環境の行列

このトピックでは,MATLAB^®で行列を作成し,基本的な行列演算を行う方法を紹介します。

MATLAB環境では,“行”列という用語を使って,2次元グリッドに配置された実数または複素数を含む変数を示します。“配列“とは一般的に数値のベクトル,行列または高次元グリッドです。MATLABのすべての配列は四角形になり、すべての次元の成分は同じ長さになります。行列で定義される数学演算は、線形代数で取り扱う内容です。

行列の作成

MATLABには,さまざまな行列を作成する関数が多数用意されています。たとえば,パスカルの三角形に基づくエントリを含んだ対称行列を作成することができます。

一个=帕斯卡(3)

A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6

または，行方向と列向和が等しい対称の“魔方陣行列“を作成することもできます。

B =魔法(3)

B = 8 1 6 3 5 7 4 9

もう1つの例は,ランダムな整数からなる3行2列の方形行列です。ここでは,兰迪への最初の入力が整数値の取り得る範囲を示し,次の2つの入力が行と列の数を示します。

C =兰迪(10、3、2)

C = 9 10 10 7 2 1

列ベクトルはm行1列の行列,行ベクトルは1行n列の行列,スカラーは1行1列の行列です。行列を手動で定義するには,大かっこ[]を使用して配列の先頭と末尾を示します。大かっこ内で行末を示すには,セミコロン；スカラー（1行1列の行列のの合，大型はは列ベクトル，行，ベクトル，およびスカラーを生成しし。

u = [3;1;4 . v = [2 0 -1] s = 7

U = 3 1 4 v = 2 0 -1 s = 7

行列の作成と取り扱い方法の詳細は,行列の作成,連結,および拡張を参照してください。

行列の加算と減算

行列と配列の加算および減算は要素ごとに,すなわち“要素単位“で実行されます。たとえば,一个をBに加算し,その結果から一个を減算するとBに戻ります。

X = a + b

x = 9 2 7 4 7 10 5 12 8

Y = x - a

Y = 8 1 6 3 5 7 4 9

加算と減算では,両方の行列の次元に互換性がなければなりません。次元に互換性がない場合はエラーになります。

X = a + c

误差使用+矩阵维度必须一致。

詳細については,配列と行列の演算を参照してください。

ベクトル積と転置

同じ長さの行ベクトルと列ベクトルの乗算は,順番を変えても計算結果は同じになります。結果は,“内”積と呼ばれるスカラーか,“外”積と呼ばれる行列のいずれかになります。

u = [3;1;4);V = [2 0 -1];x = v * u

x = 2

X = u * v

X = 6 0 -3 2 0 -1 8 0 -4

交货行为の“転置“演算では,_ijと一_霁を交換します。複素数行列の場合,もう1つの考慮事項は,配列内の複素数エントリの複素共役から”複素共役転置”を形成するかどうですか.matlabはアポストロフィ演算子（＇)を使用して複素共役転置を行い,ドットアポストロフィ演算子(”。)を使用して共役なしの転置を行います。すべての要素が実数の行列では、これら 2 つの演算子の処理は同じになります。

例の行一个=帕斯卡(3)は“対称“であるため,一个“は一个と等しくなります。しかし,B =魔法(3)は対称でないため,B”の各要素は主対角に対し鏡像の位置になります。

B =魔法(3)

B = 8 1 6 3 5 7 4 9

X = B”

X = 8 3 4 1 5 9 6 7 2

ベクトルの場合,転置によって行ベクトルは列ベクトル(またはその逆)になります。

X = v' X = 0 -1

xとyが共に分数の列のの场合，积x * yは定義されません。ただし,次の 2 つの積、

x'* y

と

y ' * x

は同じスカラーの結果を生成します。これらは使用頻度が高く,"内" 積、“スカラー”积，”“ドット積と呼ばれています。点という名前の,ドット積専用の関数も用意されています。

複素数ベクトルや行列zに対して,z”は複素共役転置を表します。すなわち,各要素の虚数部の符号が逆になります。たとえば,次の複素行列を考えます。

Z = [1+2i 7-3i 3+4i;6-2i 9我4 + 7)

Z = 1.0000 + 2.0000i 7.0000 - 3.0000i 3.0000 + 4.0000i 6.0000 - 2.0000i 0.0000 + 9.0000i 4.0000 + 7.0000i

zの複素共役転置は次のようになります。

z”

Ans = 1.0000 - 2.0000i 6.0000 + 2.0000i 7.0000 + 3.0000i 0.0000 - 9.0000i 3.0000 - 4.0000i 4.0000 - 7.0000i

各要素の虚数部がその符号を保持し,共役を取らない複素転置はz”。で定義します。

z”。

Ans = 1.0000 + 2.0000i 6.0000 - 2.0000i 7.0000 - 3.0000i 0.0000 + 9.0000i 3.0000 + 4.0000i 4.0000 + 7.0000i

複素ベクトルに対して2つのスカラー積x'* yとy ' * xは互いに複素共役で,スカラー積x'* xは実数です。

行列の乗算

行列の乗算は,線形変換の構成を反映するように定義されており,線形方程式を簡潔に表現できます。行程積 C = AB は、A の列の次元が B の行の次元と等しいとき、またはどちらかがスカラーの場合に定義されます。A が m 行 p 列で、B が p 行n 列の行列の場合、積 C は m 行 n 列の行列になります。積は、実際には MATLAB の为ループ,结肠表記,ベクトルのドット積を使って定義できます。

一个=帕斯卡(3);B =魔法(3);m = 3;n = 3;为i = 1: m为j = 1：n c（i，j）= a（i，:) * b（：，j）;结束结束

MATLABでは,C = A * Bのように,アスタリスクを使って行列の乗算を示します。行列の乗算は可換的ではありません。つまり,通常においてA * BはB *と等価ではありません。

X = A * B

X = 15 15 15 26 38 26 41 70 39

Y = B *

Y = 15 28 47 15 34 60 15 28 43

行列は,列ベクトルを右から,行ベクトルを左から乗算します。

u = [3;1;4);x = A *

X = 8 17 30

V = [2 0 -1];y = v * B

Y = 12 -7

方形行列の乗算では,次元を一致させる必要があります。一个は3行3列で,Cは3行2列のため,両者を乗算して3行2列の結果が得られます(共通の内部次元が相殺されます)。

X = A * C

X = 24 17 47 42 79 77

ただし,乗算は逆の順序では実行できません。

Y = C *

使用*不正确的维度进行矩阵乘法时出错。检查第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数是否匹配。要执行元素乘法，请使用'.*'。

あらゆるものをスカラーで乗算できます。

s = 10;w = s * y

W = 120 -70 100

配列をスカラーで乗算する場合,スカラーは暗黙的にもう一方の入力と同じサイズに拡張されます。これはしばしば”“スカラー拡張と呼ばれます。

単位行列

一般的な数学表記では,大文字の我で単位行列を表します。単位行列は対角要素が 1 で、他の要素が 0 である任意のサイズの行列です。この行列の次元が一致する場合、AI = A かつ IA = A になります。

MATLABの以前のバージョンでは大文字と小文字を区別して認識していなかったため,単位行列に我を使用できませんでした。これは我を既に添字や複素数単位として使用していたためです。そこで,英語の語呂合わせで関数名を作成しました。関数

眼睛(m, n)

はm行n列の方形の単位行列を返し,眼睛(n)はn行n列の正方の単位行列を返します。

逆行程

行程一个が正方行列で特价ではない（非ゼロの行列式）综合，方程AX =我とXA =我は同じ解xをもちます。このこの解，一个の“逆数”と呼ばれ,一个^－１关としてれます。关节发票と式^ 1はは方とも逆行列を计算し。

一个=帕斯卡(3)

A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6

X =发票(A)

X = 3.0000 -3.0000 1.0000 -3.0000 5.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000

* X

Ans = 1.0000 00 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

黛联で計算される“行列式”は,行列で記述される線形変換のスケーリングファクターの尺度となります。行列式が正確にゼロの場合,行列は“特異行列“で逆行列は存在しません。

d =侦破(A)

d = 1

一部の行列は“近特异行”“で，逆行列が现出者，计算计算数码误差の影响受けます。关联气孔导度は,逆行列から得られる結果の精度がわかる“逆行列計算の条件数”を計算します。条件数の範囲は,数値的に安定した行列の1から特价行程の正までです。

c =电导率(A)

c = 61.9839

行列の明示的な逆行列を求める必要はあまりありません。関数发票は,線形方程式系斧= B.を解くときにしばしば誤用されます。実行時間と数値精度の両面でこの方程式を解く一番優れた方法は,行列バックスラッシュ演算子をx = A \ bのように使用することです。詳細については,mldivideを参照してください。

クロネッカーテンソル積

2つの行列の积kron（x，y）は,XとYの要素のすべての組み合わせの積で作成される大規模な行列です。Xがm行n列，Yがp行列の場合,kron（x，y）は议员行nq列の行列になります。要素は,Xの各要素が行列Y全源で乘算されるにささます。

[x (1,1)* y x (1,2)* y…X(1,n)*Y…X(m,1)*Y X(m,2)*Y…X (m, n) * Y]

クロネッカー積は0と1からなる行列を使って,繰り返し小さな行列のコピーを作成します。たとえばXが2行2列の行列であるとき,

x = [1 2 3 4]

また，我眼睛= (2,2)が2行2列の単位行列であるとき,

克隆亚麻(X,我)

Ans = 1 0 2 0 0 1 0 2 3 0 4 0 3 0 4

と

克隆亚麻(I (X)

Ans = 1 2 0 0 3 4 0 0 0 1 2 0 0 3 4

克隆亚麻の他に,配列の複製に役立つ関数としてはrepmat.、repelem,およびblkdiagなどがあります。

ベクトルと行列のノルム

ベクトルxのpノルムノルムは次次のよう定义ささささささ

${‖ x ‖}_{p} ＝ {（ \sum {| x_{我} |}^{p} ）}^{\frac{1}{p}} ，$

常态（x，p）で計算されます。この演算は,p > 1を満たす任意の値に対して定義されますが,最も広く使われるpの値は1,2,および∞です。既定値はでp = 2,”“ユークリッド長や“ベクトルベクトル”に対応します。

V = [2 0 -1];(规范(v, 1)规范(v)规范(v,正)]

Ans = 3.0000 2.2361 2.000

行列のpノルム

${‖ 一个 ‖}_{p} ＝ \underset{x}{马克斯} \frac{{‖ 一个 x ‖}_{p}}{{‖ x ‖}_{p}} ，$

はp = 1 2∞に対して规范(A, p)でで计算されれはでも既定値はp = 2です。

一个=帕斯卡(3);(规范(1)规范(A)规范(A,正)]

Ans = 10.0000 7.8730 10.0000

行列の各行または各列のノルムを計算する場合は,vecnormを使用できます。

vecnorm (A)

Ans = 1.7321 3.7417 6.7823

線形代数関数のマルチスレッド計算

MATLABは多数の线路幂关关数と要素ごと计算サポートしてます计算をサポートてますますを実さますます。关键やれます。关键词さます。关键词式に対しますささに対します。关键词式に対しますのに対しに対し。CPUを使用して计算を高速するにはは条件ありますますますますますますありありあり

关节は时期実なな単にますますますますしますさささものばませ実されるでなけれなりませすなわちれる原理ものを扱います。
データを分割し,複数の実行スレッドを管理する時間を含めても同時実行する価値があるように,データサイズは十分に大きいものを扱います。たとえば配列が数千個以上の要素を含む場合は,ほとんどの関数に対して高速化の効果があります。
処理がメモリに拘束されないものを扱います。すなわち処理時間の大部分がメモリのアクセス時間にならないものを扱います。一般的には,シンプルな処理より複雑な処理をする関数の方が,高速化の効果があります。

行列の乗算(X * Y)と行列のべき乗(X ^ p)の処理は,大規模な倍精度配列(10000個以上の要素)に対して計算負荷を増大させます。行列解析関数黛联、rcond、赫斯、expmも同様です。

関連するトピック

線形方程式

計算上の考慮事項

技術計算の中で最も重要な問題の1つは,線形方程式を解くことです。

行列表記では一般的な問題は次のような形式になります。［2つの行列 A と b があるとき、Ax= b または xA= b の条件のいずれかを満たす一意の行列 x は存在しますか。]

1行1列の簡単な例を考えます。たとえば次の方程式について考えます。

7 x = 21

上記に一意の解は存在しますか。

もちろん存在します。この方程式には一意の解x = 3が存在します。解は除算から簡単に得られます。

X = 21/7 = 3

解を求める場合7の逆数すなわち7^－１= 0.142857……を計算し,この7^－１に21を乗算する方法は通常“使いません”。この方法では余計な計算ステップが必要となり,7^－１を有限の小数値で打ち切ると精度も低下します。複数の未知数がある線形方程式にも同様の考え方で,MATLABは逆行列を使わずにこのような方程式を解きます。

標準の数学的な表記ではありませんが,MATLABではスカラーの場合と同じ除算記号を使用して一般的な連立方程式の解を記述します。2つの除算記号”スラッシュ”(/)および”バックスラッシュ”（\）が2つのmatlab关关mrdivideおよびmldivideに対応します。これらの演算子は,係数行列の左右どちらかが未知の行列となる2つの状況で使用されます。

`x = b / A`	`mrdivide`を使用して得られる行列方程式xA = bの解です。
`x = A \ b`	`mldivide`を使用して得られる行列方程式Ax = bの解です。

Ax = bまたはxA = bの方程式の両辺を一で割ると考えます。係数行列一个「は「分」」ににます。

x = A \ bに対する次元の整合性の条件は,2つの行列一个とbの行数が同じであることです。その結果,解xはbと同じ列数になり,行数は一个の列数と同じになります。x = b / Aに対しては，行と列列のがします。

実際にはAx = bの形式の線形方程式の方がxA = bの形式より頻繁に使用されます。そのためバックスラッシュはスラッシュよりも頻繁に使用されます。この節の以降ではバックスラッシュ演算子を中心に説明します。スラッシュ演算子の特性は次の等式から推定できます。

(b / A) =(“\ b”)。

係数行列一个は正方である必要はありません。一个のサイズがm行n列である場合,次の3つのケースがあります。

m = n	正方システム。厳密解が得られます。
m > n	未知数より方程式が多い過決定システム。最小二乗解を求めます。
m < n	未知数より方程式が少ない劣決定システム。最大でm個のゼロでない構成要素をもつ基底解を求めます。

mldivideアルゴリズム-mldivide演算子は,さまざまなソルバーを使って各種の係数行列を処理します。実行するアルゴリズムは係数行列を調べて自動的に決められます。詳細については,関数mldivide「│││││││││││││││││││││││││├

一般解

線形方程式系Ax = bの一般解は,すべての解を示します。次のようにして一般解を求めることができます。

対応する同次方程式Ax = 0を解きます。零コマンドコマンド使用して「零(A)“と入力します。これによって,Ax = 0の解空間の基底が返されます。どの解も基底ベクトルの線形結合になります。
非同次方程式Ax = bの特殊解を導出します。

AX = Bの解は，手顺2のx= bの特性解解手顺1の基因ベクトルの形形をを加入たものとして表现でき。

この節の以降では,MATLABを使用して手順2のAx = bの特殊解を導出する方法を説明します。

正方システム

一般的な例は,正方係数行列一个と右辺に単一の列ベクトルbがある場合です。

特价でない源行列 -行程一个が特異でない場合,x = A \ bの解はbと同じサイズになります。たとえば,

一个=帕斯卡(3);u = [3;1;4);x = A\u x = 10 -12

* xがuと等価であることを確認してください。

一个とbが正方で同じ同じサイズのの合并，x = A \ bも同じサイズになります。

b =魔法(3);X = A \ b X = 19 13 6 0 6 3 1 -17 4

* xがbと等価であることを確認してください。

上記2つの例は,厳密に整数の解になります。これは係数行列がフルランク行列(特異でない)の帕斯卡(3)であるであるです。

特異な係数行列-正方行列一个が線形に独立した列をもっていない場合を“特”異といいます。一个が特異な場合、Ax = b の解は存在しないかまたは一意ではありません。バックスラッシュ演算一个\ bは,一个が特異に近い場合か,厳密な特異性が検出された場合に警告を発します。

一个が特異でAx = bが解をもつ場合は,次のように入力することで一意ではない特殊解を導出できます。

p = pinv（a）* b

pinv (A)は一の疑似逆行列です。斧= B.が厳密解をもたない場合、pinv (A)は最小二乗解を返します。

たとえば,

A = [1 3 7 -1 4 4 1 10 18]

が特異であることは以下のように入力することでわかります。

rank(A) ans = 2

一个はフルランクではないため,いくつかの特異値がゼロに等しくなります。

厳密解。b = (5; 2; 12)に対して,方程式Ax = bは次のような厳密解をもちます。

*b ans = 0.3850 -0.1103 - 0.7066

以下のようにににする，pinv b (A) *が厳密解であることを確かめることができます。

A*pinv(A)*b ans = 5.0000 2.000 12.0000

最小二乘解。ただし,b =[3、6 0]の場合,Ax = bは厳密解をもちません。この例の場合,pinv b (A) *は最小二乘解を返します。以下のように入力すると，

a * pinv（a）* b ans = -1.0000 4.0000 2.0000

元のベクトルbには戻りません。

AX = Bが厳密解をどうどうは，拡大行程[b]をでではによってできようようなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりになりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりにするなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりなりするするする

rref([A b]) ans = 1.0000 0 2.2857 00 1.0000 1.5714 000 1.0000

最終行は最後の要素以外はすべてゼロであるため,方程式は解をもちません。この例の場合,pinv (A)は最小二乗解を返します。

過決定システム

ライブスクリプトを開く

この例では,実験データでのさまざまな曲線近似において過決定システムが頻繁に発生することを説明します。

量yは,時間tのいくつかの異なる値で測定され,次の観測値を生成します。次のステートメントで,データを入力して表内に表示できます。

T = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';y =[。82 .72 .63 .60 .55 .50]';表(t, B = y)

B =6×2表T Y ___ ____ 0 0.82 0.3 0.72 0.8 0.63 1.1 0.6 1.6 0.55 2.3 0.5

減衰指数関数を使用してデータのモデル化を試します。

$y （ t ）＝ c_{1} + c_{2} e^{- t}$

上記の式は,ベクトルyが他の2つのベクトルの線形結合で近似されることを示しています。一方はすべて1の定数ベクトルであり,もう一方は成分exp (- t)を含むベクトルです。未知の係数 $c_{1}$ および $c_{2}$ 

E = [one (size(t))]

E =6×21.0000 1.0000 1.0000 0.7408 1.0000 0.4493 1.0000 0.3329 1.0000 0.2019 1.0000 0.1003

最小二乗解を求めるには,バックスラッシュ演算子を使用します。

c = E \ y

c =2×10.4760 - 0.3413

つまり,データの最小二乗近似は次のようになります。

$y （ t ）＝ 0 ． 4760 + 0 ． 3. 41 3. e^{- t} ．$

次のステートメントでは,tを等間隔にインクリメントしてモデルを評価し,結果を元のデータとともにプロットします。

T =(0:0.1:2.5)”;Y = [one (size(T)) exp(-T)]*c;情节(T Y“- - -”，t，y，“o”）

E * cはyと完全に等しくはありませんが，その差は元のデータの测定误差より小さくなっている可能性があります。

方形行列一个は,線形独立の列がない場合はランク落ちとなります。一个がランク落ちの場合,AX = Bの最小二乗解は一意ではありません。一个\ Bは一个がランク落ちであり,最小二乗解を生成する場合に警告を発します。lsqminnormを使用して,すべての解の中で最小のノルムをもつ解Xを求めることができます。

劣決定システム

この例では,劣決定システムの解が一意にならない理由について説明します。劣決定の線形システムは方程式より未知数の数が多くなります。MATLABの行程の左除算演算で基底最小二乗解を求めます。つまり、米行n列の数量行程にに，最大米个个の非ゼロゼロののありありありありあり。

ここでは小さな乱数の例をあげます。

R = [6 8 7 3;3 5 4 1] rng(0);b =兰迪(2,1)

R = 6 7 8 3 3 5 4 1 b = 7 8

線形システムRp = bには4つの未知数の中に2つの式があります。この係数行列に含まれる整数は小さいため,格式コマンドを使用して有理数形式の解を表示するのが適切です。特殊解は次のステートメントで得られます。

格式老鼠p = r \ b

P = 0 17/7 0 -29/7

R (: 2)はR(2页)になります。R (: 2)を取り除くとR (: 4)が最大ノルムをもつため,他のゼロ以外の要素は(4页)になります。

劣決定システムの完全な一般解は,ヌル空間ベクトルの任意の線形結合にpを付加することで特性化され,有理数で表示するオプションにより関数零を使用して求められます。

Z = null (R,“r”）

z = -1/2 -7/6 -1/2 1/2 1 0 0 1

R * Zがゼロになります。残差R * x - bは,以下に示す任意のベクトルxの場合は小さくなります。

x = p + Z*q

Zの列はヌル空间ベクトルベクトルため，积Z *问はこれらのベクトルの線形結合です。

$Z 问＝（ \begin{matrix} {\overset{⇀}{x}}_{1} & {\overset{⇀}{x}}_{2} \end{matrix} ）（ \begin{matrix} u \\ w \end{matrix} ）＝ u {\overset{⇀}{x}}_{1} + w {\overset{⇀}{x}}_{2} ．$

説明のため,任意の问を選択し,xを作成します。

q = [2;1);x = p + Z*q;

残差のノルムを計算します。

格式短规范(R * x - b)

ans = 2.6645 e15汽油

解を無限に利用できる場合,最小ノルムをもつ解が特に重要となります。lsqminnormを使用して最小ノルムをもつ最小二乗解を計算することができます。この解は常态（P）に対する可能な最小値をもちます。

p = lsqminnorm (R, b)

P = -207/137 365/137 79/137 -424/137

复数の右辺の法

同一の係数行列一个をもつが，异なる右辺bをもつ線形システムを解く問題もあります。bの異なる値が同時に使用できる場合は,bをを数の列をもつ行列として成し，単一个のバックラッシュコマンドをししx = a \ [b1 b2 b3 ...]のように方程式系全体を一度に解くことができます。

ただし,bの異なる値がすべて同時に使用できない場合は,いくつかの方程式系を連続して解かなくてはなりません。これらの方程式系のいずれかをスラッシュ(/)またはバックスラッシュ(\)を使用して解く場合,演算子は係数行列一个を因数分解し,この行列の分解を使用して解を計算します。ただし,異なるbをもつ類似の方程式系を連続して解く場合,演算子は毎回同じ一个の分类を演算するため演算演算となります。

この問題を解決するには,一个の分解を事前計算してから,その因子を再利用して異なるbの値の解を求めます。しかし実際には,この方法で分解を事前に計算することは困難です。その理由は,問題を解決するためにどの分解(LU,低密度脂蛋白,コレスキーなど)を計算するかだけでなく,因子をどのように乗算するかについても知る必要があるからです。たとえば,陆分解では,元のシステムAx = bを解くために次の2つの線形システムを解かなければなりません。

陆[L U] =(一个);x = U \ (L \ b);

代わりに,連続する複数の右辺をもつ線形システムを解くために推奨される方法は,分解オブジェクトを使用する方法です。これらのオブジェクトによって,行列分解の事前計算によるパフォーマンス上の利点を活用できます。それらに,行列分解の使用方法に関する知識は必要的“ありません”。前述の陆分解を以下のように置き換えることができます。

dA =分解(,“陆”）;x = dA \ b;

どの分解を使用すればよいかわからない場合は,分解(一)によりバックスラッシュと同様に一个のプロパティに基づいて正しいタイプを選択します。

この方法によるパフォーマンス上の利点を測定する簡単なテストを次に示します。このテストでは,バックスラッシュと(\)分解の両方を使用して,同じスパース線形システムの解決を100回繰り返します。

n = 1 e3;A = sprand(n,n,0.2) + speye(n);b = 1 (n, 1);%反斜杠的解决方案抽搐为k = 1:100 x = A\b;结束toc

运行时间为9.006156秒。

%分解方案tic da =分解（a）;为k = 1:100 x = dA\b;结束toc

运行时间为0.374347秒。

この問題では,分解を使用した方法がバックスラッシュのみを使用した方法に比べてはるかに高速ですが,構文はシンプルです。

反復法

係数行列一个が大規模でスパース性がある場合,分解する方法は一般に効果がありません。反复法は近似解を生成できます.MATLABは大规模でスパース性のある行列を扱う，いくつかの反复法を用意しています。

関数	説明
`pcg`	前処理を使用した共役勾配法。この方法はエルミート正定値係数行列一个に適しています。
`bicg`	双共役倾斜法
`bicgstab`	双共役傾斜安定化法
`bicgstabl`	BiCGStab (l)法
`研究生院理事会`	共役勾配二乗法
`GMRES.`	一般化最小残差法
`lsqr`	LSQR法
`minres`	最小残差法。この方法はエルミート係数行列一个に適しています。
`qmr`	準最小残差法
`symmlq`	対称LQ法
`tfqmr`	転置なし準最小残差法

マルチスレッド计算

关节は时期実なな単にますますますますしますさささものばませ実されるでなけれなりませすなわちれる原理ものを扱います。
データを分割し,複数の実行スレッドを管理する時間を含めても同時実行する価値があるように,データサイズは十分に大きいものを扱います。たとえば配列が数千個以上の要素を含む場合は,ほとんどの関数に対して高速化の効果があります。
処理がメモリに拘束されないものを扱います。すなわち処理時間の大部分がメモリのアクセス時間にならないものを扱います。一般的には,シンプルな処理より複雑な処理をする関数の方が,高速化の効果があります。

関数发票、LSCOV.、linsolve、mldivideはマルチスレッド計算を有効にすると,大規模な倍精度配列(10000個以上の要素)に対する計算速度が大幅に上昇します。

参考

分解|lsqminnorm|mldivide|mrdivide|pinv

参考

胆固醇|陆|qr

参考

参考

eig|舒尔

関数	使用方法
`圣言会`	`圣言会`，SVDによるランクkの近似近似を计算しし近似するかかかにするかにかをのする最するをのする最するかのサブセット最しに近似近似をを计算しを近似をををし近似近似近似近似し近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似计算近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似近似をを近似近似近似近似近似近似近似し近似近似近似近似近似をするするかのするするl`圣言会`は一般的に,ランクkの最適な近似を計算します。
`svdsketch`	`svdsketch`をを用して，指定された许容误差満たす，入力行为ののなsvdを计算し。`圣言会`ではランクを指定する必要がありますが,`svdsketch`では指定された許容誤差に基づき,行列スケッチのランクが適応的に特定されます。`svdsketch`が最终的に使使用するランクkの近似は许容误差をますが，`圣言会`と異なり,最適なものであることは保証されません。

参考

定理|圣言会|圣言会|svdsketch

線形代数

MATLAB環境の行列

行列の作成

行列の加算と減算

ベクトル積と転置

行列の乗算

単位行列

逆行程

クロネッカーテンソル積

ベクトルと行列のノルム

線形代数関数のマルチスレッド計算

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線形方程式

計算上の考慮事項

一般解

正方システム

過決定システム

劣決定システム

复数の右辺の法

反復法

マルチスレッド计算

参考

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はじめに

コレスキー分解

陆分解

QR分解

行列分解のマルチスレッド計算

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参考

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固有値

固有値分享

複数の固有値

舒尔分解

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参考

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