1.1：微分方程概述GÿdF4y2Ba线性方程组包括GÿdF4y2Ba日/日GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2Bay、 日/日GÿdF4y2Ba= -GÿdF4y2Bay、 日/日GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2Ba2年GÿdF4y2Ba。方程GÿdF4y2Ba日/日GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba*GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba是非线性的。GÿdF4y2Ba

1.2：微积分，您需要GÿdF4y2Ba求和法则、乘积法则和链式法则由的导数衍生出新的导数GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Ba，罪（GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba),GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^XGÿdF4y2Ba。微积分基本定理说，积分是导数的倒数。GÿdF4y2Ba

1.4B：响应指数输入，实验值（S * t）的GÿdF4y2Ba指数输入,GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{圣GÿdF4y2Ba}，从外部和指数增长，GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{在GÿdF4y2Ba}从内部来看，解y(t)是两个指数的组合。GÿdF4y2Ba

1.4c:振荡输入的响应，cos(w*t)GÿdF4y2Ba振荡输入COS（ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba）产生具有相同频率ω（以及相移的振荡输出）。GÿdF4y2Ba

1.4d：任何输入的解，q（t）GÿdF4y2Ba求解线性第一阶等式，乘以每个输入GÿdF4y2Ba问题（s）GÿdF4y2Ba通过它的生长因子来整合这些产出GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

1.4e:阶跃函数和函数GÿdF4y2Ba甲单位阶跃函数跳转从0到1其斜率是一个δ函数：处处为零除​​了在跳的无穷。GÿdF4y2Ba

1.5:对复指数的响应，exp(i*w*t) = cos(w*t)+i*sin(w*t)GÿdF4y2Ba线性方程组，该溶液GÿdF4y2Baf =GÿdF4y2Bacos（ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba）是溶液的实部GÿdF4y2Baf = eGÿdF4y2Ba^{iωtGÿdF4y2Ba}。这种复杂的解决方案具有幅度GÿdF4y2BaGGÿdF4y2Ba(获得)。GÿdF4y2Ba

1.6：恒定速率的积分因子，aGÿdF4y2Ba积分系数GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{-在GÿdF4y2Ba}相乘的微分方程，Y” = AY + Q，得到衍生物的GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{-在GÿdF4y2Ba}y： 准备集成。GÿdF4y2Ba

16亿：积分因子用于以变化的速率，一个（t）的GÿdF4y2Ba变化利率的积分提供了增长解（银行余额）的指数。GÿdF4y2Ba

1.7：逻辑方程GÿdF4y2Ba当GÿdF4y2Ba——GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba减慢的生长，并且使方程的非线性，将溶液接近稳定状态GÿdF4y2Bay (GÿdF4y2Ba∞GÿdF4y2Ba)= a / b。GÿdF4y2Ba

1.7℃：稳定性和稳定的国家的不稳定GÿdF4y2Ba稳态解可以是稳定的，也可以金宝搏官方网站是不稳定的——一个简单的测试就可以决定。GÿdF4y2Ba

1.8：可分离方程式GÿdF4y2Ba可分离方程可以通过两个单独的集成，一个所要解决GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba另一个在GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba。最简单的是GÿdF4y2Bady / dt = yGÿdF4y2Ba,当GÿdF4y2BaDY / YGÿdF4y2Ba等于GÿdF4y2BaDTGÿdF4y2Ba. 然后在(GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba) =GÿdF4y2Bat+C公司GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.1：二阶微分方程GÿdF4y2Ba对于无阻尼和无强迫的振动方程，所有解都具有相同的固有频率。金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba

2.1B：强迫简谐运动GÿdF4y2Ba与强迫GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba=cos（ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba），特定的解决方案是GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba* cos(ωGÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba)。但是，如果强制频率等于固有频率有共鸣。GÿdF4y2Ba

2.3：非受迫性阻尼运动GÿdF4y2Ba在微分方程中，常系数的基本解是指数的金宝搏官方网站GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{圣GÿdF4y2Ba}。该指数GÿdF4y2Ba小号GÿdF4y2Ba解决了一个简单的公式如GÿdF4y2Ba如GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+ Bs + C = 0GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.3c：脉冲响应和阶跃响应GÿdF4y2Ba脉冲响应GÿdF4y2BaGGÿdF4y2Ba是当力是冲量（δ函数）时的解。这也解决了初始条件为非零的零方程（无力）。GÿdF4y2Ba

2.4：指数响应 - 可能产生的共振GÿdF4y2Ba当自然频率与强迫频率相匹配时，共振就发生了——从内到外都是等指数。GÿdF4y2Ba

2.4b:带阻尼的二阶方程GÿdF4y2Ba阻尼强迫方程有一个特殊的解GÿdF4y2Bay=GGÿdF4y2Bacos（ωGÿdF4y2Bat -GÿdF4y2Baα）。阻尼比提供了洞察空的解决方案。金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba

2.5：电网：电压和电流GÿdF4y2Ba电流绕RLC回路流动求解一个带系数的线性方程GÿdF4y2Ba大号GÿdF4y2Ba(电感),GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba(电阻),GÿdF4y2Ba1/CGÿdF4y2Ba（GÿdF4y2BaCGÿdF4y2Ba=电容）。GÿdF4y2Ba

2.6：待定系数法GÿdF4y2Ba具有常系数和特殊强迫项GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba， cos /sin，指数函数，特解也有这种形式。GÿdF4y2Ba

26亿：待定系数方法的一个例子GÿdF4y2Ba这种方法也成功地为部队和诸如解决方案金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba（在GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+英国电信+英国电信GÿdF4y2Ba^{圣GÿdF4y2Ba}代入方程求GÿdF4y2BaA，B，CGÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.6c:参数变化GÿdF4y2Ba合并空解决方案金宝搏官方网站GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba_1GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba_2GÿdF4y2Ba与系数GÿdF4y2BaCGÿdF4y2Ba_1GÿdF4y2Ba（t）的GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaCGÿdF4y2Ba_2GÿdF4y2Ba（t）的GÿdF4y2Ba找到任何一个特定的解决方案GÿdF4y2BaF（T）。GÿdF4y2Ba

2.7：拉普拉斯变换：一阶方程GÿdF4y2Ba把线性微分方程中的每一项变换成一个代数问题。然后你可以把代数解转换回ODE解，GÿdF4y2BaY（t）的GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

2.7b:拉普拉斯变换:二阶方程GÿdF4y2Ba的二阶导数变换以GÿdF4y2Ba小号GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba与代数问题涉及的传递函数GÿdF4y2Ba1 / (GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+ b + C)。GÿdF4y2Ba

2.7c:拉普拉斯变换和卷积GÿdF4y2Ba当力是一种冲动δGÿdF4y2Ba（t）的GÿdF4y2Ba，脉冲响应是GÿdF4y2Bag (t)GÿdF4y2Ba。当力是GÿdF4y2Baf（吨）GÿdF4y2Ba的响应是的“卷积”GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaG。GÿdF4y2Ba

3.1：解决方案图片金宝搏官方网站GÿdF4y2Ba的方向字段GÿdF4y2Bady / dt = f (t, y)GÿdF4y2Ba有带斜线的箭头吗GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba每一点GÿdF4y2BaT，YGÿdF4y2Ba。箭头具有相同的斜率谎言沿平衡线。GÿdF4y2Ba

3.2：相平面图片：源库鞍GÿdF4y2Ba金宝搏官方网站二阶方程的解可以趋近于无穷，也可以趋近于零。鞍点包含正指数和负指数或特征值。GÿdF4y2Ba

平面相图:螺旋和中心GÿdF4y2Ba纯振荡的虚指数在相平面上提供了一个“中心”。这一点GÿdF4y2Ba(y, dy / dt)GÿdF4y2Ba旅行永远围绕一个椭圆。GÿdF4y2Ba

3.2C：两个一阶微分方程：稳定性GÿdF4y2Ba第二阶方程给出了两个一阶方程GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2Ba日/日GÿdF4y2Ba。矩阵成为伴侣矩阵。GÿdF4y2Ba

3.3:临界点线性化GÿdF4y2Ba临界点是常解GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba对于微分方程GÿdF4y2BaY” = F（y）的GÿdF4y2Ba。附近,GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba，表示GÿdF4y2BaDF / DYGÿdF4y2Ba决定稳定还是不稳定。GÿdF4y2Ba

3.3B：Y的线性化 '= F（Y，Z）和z'= G（Y，Z）GÿdF4y2Ba对于两个方程，临界点GÿdF4y2BaF（Y，Z）GÿdF4y2Ba= 0和GÿdF4y2Bag (Y, Z)GÿdF4y2Ba=0。在这些常解附近，两个线性化方程使用金宝搏官方网站GÿdF4y2BaFGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaGGÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

3.3C：本征值和稳定性：2乘2矩阵，AGÿdF4y2Ba两个方程GÿdF4y2BaY” = Ay的GÿdF4y2Ba是否稳定(解趋近于零)时金宝搏官方网站的轨迹GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba是负的，行列式是正的。GÿdF4y2Ba

3d: 3d的翻滚盒GÿdF4y2Ba空中的盒子可以绕着它最短和最长的轴旋转。绕着中轴，它剧烈地摇晃着。GÿdF4y2Ba

5.1:矩阵的列空间aGÿdF4y2Ba一个GÿdF4y2Ba米GÿdF4y2Ba通过GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba矩阵GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba有GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba每列GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^{米GÿdF4y2Ba}。获取这些列的所有组合Av就得到列空间——的一个子空间GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^{米GÿdF4y2Ba}。GÿdF4y2Ba

5.4：独立性、基础和维度GÿdF4y2Ba矢量v 1到v d是一个子空间的基础，如果它们的组合跨越整个子空间和是独立的：没有基矢量是其他的组合。尺寸d =基本向量的数量。GÿdF4y2Ba

5.5：线性代数的大局GÿdF4y2Ba一个矩阵产生四个子空间——列空间、行空间(相同维数)、垂直于所有行的向量空间(零空间)和垂直于所有列的向量空间。GÿdF4y2Ba

图5.6:GÿdF4y2Ba一个图GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba节点连接GÿdF4y2Ba米GÿdF4y2Ba边（其他边可能丢失）。这是互联网、大脑、管道系统等的有用模型。GÿdF4y2Ba

5.6b：图的关联矩阵GÿdF4y2Ba的关联矩阵GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba每条边都有一行，包含-1和+1来显示两个节点(GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba），其是由边缘相连。GÿdF4y2Ba

6.1:特征值和特征向量GÿdF4y2Ba特征向量GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba与矩阵相乘时保持同一方向(GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaλGÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba)。一个GÿdF4y2BañGÿdF4y2BaXGÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba矩阵有GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba特征值。GÿdF4y2Ba

6.2:对角化矩阵GÿdF4y2Ba如果它有一个矩阵对角化GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵λ为特征值矩阵。GÿdF4y2Ba

6.2B：权力，A ^ n，以及矩阵的马氏GÿdF4y2Ba对角化GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaVGÿdF4y2BaΛGÿdF4y2BaVGÿdF4y2Ba^1GÿdF4y2Ba也对角化GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Ba=GÿdF4y2BaVGÿdF4y2BaΛGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2BaVGÿdF4y2Ba^1GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

6.3：求解线性系统GÿdF4y2BadGÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba/ DT = AGÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba包含解决方案金宝搏官方网站GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba= EGÿdF4y2Ba^{λTGÿdF4y2Ba}XGÿdF4y2Ba哪里GÿdF4y2BaλGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba是本征值/本征矢量为一对GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

6.4:矩阵指数，exp(A*t)GÿdF4y2Ba解的最短形式使用矩阵指数GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba= EGÿdF4y2Ba^{在GÿdF4y2Ba}ÿGÿdF4y2Ba（0）GÿdF4y2Ba。矩阵GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{在GÿdF4y2Ba}具有本征值GÿdF4y2BaËGÿdF4y2Ba^{λTGÿdF4y2Ba}的特征向量GÿdF4y2Ba一个。GÿdF4y2Ba

6.4b：类似的矩阵，A和B = M ^（ - 1）* A * MGÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2Ba乙GÿdF4y2Ba是“相似”，如果GÿdF4y2Ba乙GÿdF4y2Ba=GÿdF4y2Ba中号GÿdF4y2Ba^{-1个GÿdF4y2Ba}上午GÿdF4y2Ba对于一些矩阵GÿdF4y2Ba中号GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba乙GÿdF4y2Ba然后有相同的特征值GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

对称矩阵，实特征值，正交特征向量GÿdF4y2Ba对称矩阵都GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba垂直特征向量和GÿdF4y2BañGÿdF4y2Ba实特征值。GÿdF4y2Ba

6.5b:二阶系统，y " +Sy=0GÿdF4y2Ba振荡式GÿdF4y2BadGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba是/日期GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+ SY =GÿdF4y2Ba0有GÿdF4y2Ba2 nGÿdF4y2Ba金宝搏官方网站解决方案（正弦和余弦）。金宝搏官方网站解决方案使用的特征向量GÿdF4y2BaS。GÿdF4y2Ba

7.2：正定矩阵，S = A'* AGÿdF4y2Ba正定矩阵S具有正的特征值、正的轴、正的行列式和正的能量vGÿdF4y2Ba^ŤGÿdF4y2Ba对于每个向量v S = AGÿdF4y2Ba^ŤGÿdF4y2BaA总是正定的，当一个有独立列。GÿdF4y2Ba

7.2b：奇异值分解，SVDGÿdF4y2BaSVD分解每个矩阵GÿdF4y2Ba一种GÿdF4y2Ba变成一个正交矩阵GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba倍的对角矩阵Σ（奇异值）倍的另一个正交矩阵VGÿdF4y2Ba^ŤGÿdF4y2Ba：旋转时间拉长倍旋转。GÿdF4y2Ba

7.3：边界条件代替初始条件GÿdF4y2Ba二阶方程可以改变初始条件GÿdF4y2BaY（0）GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaDY / DT（0）GÿdF4y2Ba到边界条件GÿdF4y2BaY（0）GÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BaY（1）GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

7.4：拉普拉斯方程GÿdF4y2Ba偏微分方程∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Bau型/GÿdF4y2Ba∂GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba+GÿdF4y2Ba∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Bau型/GÿdF4y2Ba∂GÿdF4y2BaÿGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba= 0GÿdF4y2Ba描述了一种圆形或方形或任何平面区域内部的温度分布。GÿdF4y2Ba

8.1：傅里叶级数GÿdF4y2Ba傅里叶级数分离一个周期函数GÿdF4y2BaF (x)GÿdF4y2Ba变成所有基函数的组合(无限)GÿdF4y2Banx)GÿdF4y2Ba和sin（GÿdF4y2Banx)GÿdF4y2Ba。GÿdF4y2Ba

8.1b：傅立叶级数的例子GÿdF4y2Ba即使功能只使用余弦（GÿdF4y2BaF (- x) = F (x)GÿdF4y2Ba）和奇函数只使用正弦。系数GÿdF4y2Ba一个GÿdF4y2Ba_ñGÿdF4y2Ba和GÿdF4y2BabGÿdF4y2Ba_ñGÿdF4y2Ba来自积分GÿdF4y2BaF (x)GÿdF4y2Bacos (GÿdF4y2Banx公司GÿdF4y2Ba),GÿdF4y2BaF (x)GÿdF4y2Basin (GÿdF4y2Banx公司GÿdF4y2Ba)。GÿdF4y2Ba

8.1c:拉普拉斯方程的傅里叶级数解GÿdF4y2Ba在一个圆内，解GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba（GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba，θ）联合机GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Bacos (GÿdF4y2BañGÿdF4y2Baθ),GÿdF4y2Ba[RGÿdF4y2Ba^ñGÿdF4y2Basin (GÿdF4y2BañGÿdF4y2Baθ）。边界解决方案将所有条目的傅里叶级数相匹配的边界条件。GÿdF4y2Ba

8.3:热方程GÿdF4y2Ba热方程∂GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba=∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba从温度分布开始GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba在GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba= 0和跟随它用于GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba因为它很快变得光滑。GÿdF4y2Ba

8.4:波动方程GÿdF4y2Ba波动方程∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba=∂GÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba^2GÿdF4y2Ba显示了波是如何移动的GÿdF4y2BaXGÿdF4y2Ba轴，从波形开始GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba和它的速度∂GÿdF4y2BaüGÿdF4y2Ba/∂GÿdF4y2BaŤGÿdF4y2Ba（0）。GÿdF4y2Ba