MathWorks是世界上唯一一家的标志满足一个偏微分方程。为什么是这个方程的区域形状像一个大写字母L ?

内容

波动方程

波动方程描述了一个干扰穿越问题。如果单位是选择这波传播速度等于1,一波的振幅满足$ ${{\部分^ 2 u} \ /{\部分t ^ 2}} = u $ $ $ \ \三角形三角形表示拉普拉斯算子美元$ \三角={\部分^ 2 \ /{\部分x ^ 2}} +{\部分^ 2 \ /{\偏y ^ 2}} $ $

初始和边界值

几何中扮演着关键角色。初始值的波的幅度和速度都规定在某地区。的振幅值及其法向导数也在规定的边界地区。如果区域外的波消失,这些边界值是零。

特征值和特征函数

分离周期行为会导致解决方案的形式$ $ u (x, y, t) = \因为{(\ sqrt{\金宝搏官方网站λ}\ t)} v (x, y) $ $函数v (x, y)美元也取决于\λ和美元。他们满足微分方程$ $ \三角形v + \λ= 0 $ $和为零的边界地区。数量\λ导致美元非零解金宝搏官方网站特征值和相应的函数v (x, y)是美元特征函数或模式。他们是由介质的物理性质和几何区域。特征值的平方根是共振频率。定期的外部驱动力在这些频率生成一个无限制地强烈的反应介质。波动方程的解可以表示为一个线性组合的形式。系数的线性组合得到的初始条件。

一维

在一维,特征值和特征函数很容易确定。举个最简单的例子就是小提琴的弦,固定的间隔。特征函数是三角函数。$ $ v_k罪(x) = \ {(k x)} $ $如果间隔的长度\π,美元的特征值确定边界条件,v_k (k \π)= 0美元。因此,$ k美元必须是整数和$ $ \ lambda_k = k ^ 2 $ $如果初始条件扩大傅立叶正弦级数,$ $ u (x, 0) = \ sum_k a_k罪\ {(k x)} $ $(和初始速度为零),那么波方程的解是$ $ u (x, t) = \ sum_k a_k \因为{(\ sqrt {\ lambda_k} \ t)} v_k (x) $ $这是图的前九在一维特征函数。对应的特征值是整数的平方。

特征值= (1:9)。^ 2 plot_modes (“一维”)

特征值= 1 4 9 16 25 36 49 64 81

一个正方形

最简单的地区两个维度是一个正方形。特征函数是三角函数。$ $ v_ {k, j} (x, y) = {(k x)} \ \罪,罪\ {(j y)} $ $如果双方有长度\π美元,边界条件意味着$ k和j $美元必须是整数。这是第一个九个特征值和特征函数。

[k] = meshgrid (1:3);e = k。^ 2 + j。^ 2;特征值= e (:) plot_modes (“广场”)

特征值= 2 5 10 5 8 13 13 18

一个圆盘

如果该地区是一个圆盘,我们转换到极坐标系下,r和θ\美元美元。三角函数被贝塞尔函数取代。形式成为$ $ v_ {k, j} (r,θ\)= B_j (\ mu_k r) \ \罪{(j \θ)},B_j美元是美元j th阶贝塞尔函数和美元$ \ mu_k = \ sqrt {\ lambda_k} $。找到我们需要的特征值的形式消失的边界阀瓣。如果半径是一个,我们需要$ $ B_j (\ mu_k) = 0 $ $换句话说,我们需要计算零贝塞尔函数。这是第一个圆盘的9个特征值和特征函数。小提琴弦已成为手鼓。

特征值= [bjzeros (0, 3) bjzeros (1、3) bjzeros (2、3)]。^ 2 plot_modes (“盘”)

特征值= 1到7列5.7832 30.4713 74.8870 14.6820 49.2185 - 103.4995 70.8500 - 135.0207 26.3746列8到9

一个圆形的部门

代替完整的圆盘由四分之三的圆。角在原点^ \保监会270美元或美元\压裂{3}{2}\π美元弧度。我们可以使我们的形式适应这个角。把$ $ v_ {k, j} (r,θ\)= B_ {\ alpha_j} (\ mu_k r) \ \罪{(\ alpha_j \θ)}$ $ $ $ \ alpha_j = \压裂{2}{3}j $ $和分数阶贝塞尔函数。特征函数满足他们的微分方程,也满足边界条件两边的角。$ $ v_ {k, j} (r,θ\)= 0 $ $ \θ= 0美元和美元\θ= \压裂{3}{2}\π美元。通过寻找贝塞尔函数的零我们也可以有形式满足边界条件的外圆部分边界。这是第一个九个特征值和特征函数的四分之三的圆。

特征值= [bjzeros (2/3, 3) bjzeros (4/3, 3) bjzeros (6/3 3)]。^ 2 plot_modes (“部门”)

特征值= 1到7列11.3947 42.6442 93.6362 18.2785 56.1131 - 113.6860 70.8500 - 135.0207 26.3746列8到9

这些特征函数的另一个重要属性。他们中的大多数是单数;分数阶贝塞尔函数的导数是无界的原点。你可以看到黑色的网格线集中在故事情节。如果你试图让一个手鼓与这个部门的形状,它将把锐角。需要这种奇异行为模型的解波动方程在这个地区。

l型膜

到目前为止我们已经讨论了所有的地区可以表达分析函数的特征值为0。间隔和广场的特征值是整数,美元的零罪\{\πx} $。圆盘和部门、贝塞尔函数的特征值是0。一旦我们有特征值,很容易计算使用正弦和贝塞尔函数的形式。所以,l型地区由三个单位正方形有趣的原因至少有两个。它是最简单的几何解波动方程不能表达分析;金宝搏官方网站数值计算是必要的。此外,270度凸角导致一个奇点的解决方案。数学,第一本征函数的梯度是无限靠近角落。身体上,膜拉伸在这样的地区将在拐角处。 This singularity limits the accuracy of finite difference methods with uniform grids. I used the L-shaped region as the primary example in my doctoral thesis fifty years ago. MathWorks has adopted a modified surface plot of the first eigenfunction as the company logo. I am going to devote a series of blog posts to the L. Here are the first nine eigenvalues and eigenfunctions, computed by a function from与MATLAB数值计算,我将讨论在未来的发布。比较这些形式的循环部门,同样的凹角和产生的奇异点。

为(~ k = 1:9,特征值(k)] = membranetx (k);结束特征值plot_modes (“L”)

特征值= 1到7列9.6397 15.1973 19.7392 29.5215 31.9126 - 41.4745 49.3480 - 49.3480 44.9485列8到9

微波波导

简单的模型问题涉及波在一个l型区域包括一个l型膜,或l型手鼓,和海滩毛巾随风飘荡,受制于野餐篮里毛巾的四分之一。一个更实际的例子涉及到微波波导脊。一个这样的设备是一个waveguide-to-coax适配器。活跃的地区与h型的通道截面可见的适配器。山脊增加带宽的指南为代价高衰减和低电源处理能力。对称的H虚线所示的等高线图电场意味着只有四分之一的领域需要考虑和由此产生的几何是我们的l型地区。边界条件是不同的比我们的膜问题,但是微分方程和解决方案技术是相同的。这张照片是由先进的技术材料,公司看到他们的网站,< http://atmmicrowave.com/>,因为很多这样的设备。

波导

得到了MATLAB代码

发表与MATLAB®R2014b