几天前，我们收到了来自明尼苏达州圣保罗圣托马斯大学(University of St. Thomas)机械工程教授迈克·亨尼西(Mike Hennessey)的电子邮件。他一直在仔细阅读我的书《MATLAB数值计算》。第七章是关于“特征值和奇异值”10.3节是关于我最喜欢的MATLAB演示之一，eigshow．迈克发现了我描述的一个错误圣言会选择eigshow在过去的十多年里，这本书在MathWorks网站和SIAM上都可以找到。

内容

Eigshow

这个项目eigshow用过MATLAB吗演示多年的目录。我写了一个三部分系列文章关于eigshow但我很乐意现在再写一篇文章。

的圣言会选择eigshow邀请您使用鼠标移动绿色矢量x并使* x垂直于* y．上面的gif动画模拟了这个动作。下图是预期的最终结果。

当你移动x,向量y跟随，保持垂直x．二人画出绿色单位圆。默认的矩阵一个如标题所示。(如果你经营自己的公司eigshow您可以通过编辑标题中的文本框来更改矩阵。)

A = [1 3;4 2) / 4

A = 0.2500 0.7500 1.0000 0.5000

蓝色的向量斧头和唉都是x和y在乘法映射下一个．当你移动x和y绕单位圆斧头和唉扫出蓝色的椭圆。当你停止斧头垂直于唉，它们是椭圆的长轴和短轴。

不合格品

MATLAB的数值计算，它的朋友们把它简单地称为不合格品这本书出版于10多年前的2004年。MathWorks提供电子版，SIAM提供印刷版。在第七章中，定义实矩阵$ a $的奇异值分解即SVD为乘积

$ A = U V^T$

在最简单的情况下，我们假设$A$是正方形，$U$和$V$是正交的，$\Sigma$是对角线。

图10.3说明了这一点不合格品，这和最后的数字是一样的。它展示了动作圣言会选项的默认矩阵。第7页的第一句话给出了解释。

向量x和y是SVD中U的列向量
Ax和Ay是V列向量的倍数，它的长度
坐标轴是奇异值。

听起来好了,对吗?这是迈克·亨尼西质疑的句子。现在我提醒您注意，您应该能够立即发现错误。我会在这篇文章的最后告诉你它是什么。

帮助eigshow

下面是相关段落帮助条目eigshow．它不会陷入和不合格品．

在svd模式下，鼠标移动两个垂直的单位向量x和y。
将得到的A*x和A*y绘制出来。当A*x垂直于
那么x和y是右奇异向量，A*x和A*y
左奇异向量的倍数，以及A*x和A*y的长度
为对应的奇异值。

圣言会

以下是我对SVD的看法。定义,

$A = U V^T$

两边同时乘以$V$。

$A V = U \Sigma$

对角线矩阵$\Sigma$在右边，这样奇异值就可以乘上$U$的列。当我们一列一列地写出来时，我们有

$ v_j = sigma_j u_j， \ \ j = 1，\…，n$$

再多一点操纵就会

$A^T u_j = sigma_j v_j， \ \ j = 1，\…，n$$

例子

让我们看看默认的2 × 2矩阵是怎样的。

一个

A = 0.2500 0.7500 1.0000 0.5000

计算出圣言。

[U, V] =圣言(A)

v = -0.7678 0.6407 -0.7678

奇异值在的对角线上年代．

σ=诊断接头(S)

Sigma = 1.2792 0.4886

这是两个蓝色向量的长度。

主导奇异向量

结果表明，具有非负元素的(不可约)矩阵的最大奇异值对应的右奇异向量$v_1$的分量具有相同的符号。它们可能都是正面的，也可能都是负面的，你自己选吧。MATLAB总是选择负的。所以V(:，1)的两个分量都是负的。但是我们停止eigshow与一个积极的x．所以我们改变符号V (: 1)．

x = -V(:，1) y = V(:，2)

X = 0.7678 0.6407 y = 0.7678

这两个向量看起来像最后一个图中的两个绿色向量。这看起来像两个蓝色的向量。

Ax = A*x Ay = A*y

Ay = -0.4156 0.2569

现在检查SVD关系是否有效。

AV = A*V USigma = U*S

AV = -0.6725 -0.4156 -1.0881 0.2569 USigma = -0.6725 -0.4156 -1.0881 0.2569

修正

错误在哪里不合格品这促使我写了这篇文章?矩阵U和V应该互换。这个句子应该是这样的

向量x和y是SVD中V的列向量
Ax和Ay是U的列向量的倍数，长度
坐标轴是奇异值。

每次和SVD一起工作，我都要仔细考虑U和v，哪个是哪个?也许写这篇文章会有帮助。

参考

克里夫硅藻土,用MATLAB进行数值计算, 2004年。

MathWorks,< //www.tatmou.com/moler/chapters.html>，

暹罗,< http://epubs.siam.org/doi/book/10.1137/1.9780898717952>，

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