多项式和矩阵的贬义流形，第2部分

张贴了克里夫硅藻土，2020年1月30日

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在未发表的1972年技术报告中，“节约汇合遏制不良状态”，Velvel Kahan创造了描述性术语佩伯拉特歧管．如果您在日常对话中不使用它，佩吉意思是“表示蔑视或反对”。

Velvel的报告关注的是具有多重根的多项式，这种多项式通常被轻视，因为它们的条件太糟糕了。但Velvel的关键观察是，尽管多重根对任意扰动很敏感，但它们对保持多重性的扰动不敏感。

第1部分关于多项式。这部分是关于矩阵特征值。

内容

管汇的

Pejorative歧管$ \ mathcal {m} $现在是所有6×6个矩阵的集合，其中包含多个矩阵，在$ \ lambda $ = 3.这些是严重的限制，当然和$ \ mathcal {M} $是所有矩阵集的一组微小的子集。但如果我们停留在$ \ mathcal {m} $之内，生活并不差不多。

两个矩阵

矩阵的约当标准形式是双对角的，特征值在对角线上，1和0在超对角线上。在我们这里的情况下，每个多重性为m的特征值在超对角线上都有一个m × m的约当块。不同特征值的约当块在超对角线上被一个0隔开。

我们的第一个矩阵有一个带有$ \ lambda $ = 3的3×3块，然后是一个带有$ \ lambda $ = 2的1-by-1块，最后一个带$ \ lambda $ =的2×2块1，所以对角线是

D = [3 3 3 2 1 1];

而超级尼古尔是

J = [1 1 0 0 1];

这里是

J1 = DIAG（J，1）A1 = DIAG（D）+ J1

j - 1 = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A1 = 3 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1

我们的第二个矩阵移动一个超对角线元素以交换$ \ lambda $ = 2和$ \ lambda $ = 1的多个。

J2 = DIAG（[1 1 0 1 0]，1）A2 = DIAG（[3 3 3 2 2 1]）+ J2

J2 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 00 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1

这两个矩阵是由两个多项式构成的我的最后一篇文章特征多项式。不需要计算0，它们在对角线上。

p1 = charpoly (A1,“年代”）;p2 = charpoly（a2，“年代”）;

$$ p1 = s ^ 6-13 \，s ^ 5 + 68 \，s ^ 4-182 \，s ^ 3 + 261 \，s ^ 2-189 \，s + 54 $$

$$ p2 = s ^ 6-14 \，s ^ 5 + 80 \，s ^ 4-238 \，s ^ 3 + 387 \，s ^ 2-324 \，s + 108 $$

凸组合

凸线性组合赋予超对角线的权值和对角线的新特征值。

格式短的A = 1/3* a1 + 2/3* a2

a = 3.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0. 3.0000 1.0000 0 0 0 0 0 3.0000 0 0 0 0 0 0 0 2.0000 0.6667 0 0 0 0 0 1.6667 0.3333 0 0 0 0 0 0 1.0000

特征多项式

我们来检查一下特征多项式是否和我们上次学过的第三个多项式相同。

p3 = charpoly（a，“年代”）;

$$ p3 = s ^ 6- \ frac {41 \，s ^ 5} {3} +76 \，s ^ 4- \ frac {658 \，s ^ 3} {3} +345 \，s ^ 2-279 \，s + 90 $$

情节

三种多项式的曲线显示三根root比双根更敏感，这是又比任何简单根更敏感。

plot_polys (p1, p2, p3)

相似变换

相似变换保留了特征值，但掩盖了特征值。因为它很方便，我将使用我去年12月的博客文章中的HPL-AI矩阵HPL-AI基准．

格式短的m = hplai（6，-1）

M = 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.2000 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 1.1667

是的女士

这是我们在MATLAB中做相似变换的方法。

B = M / M *

B = 3.0610 1.1351 0.0899 -0.1695 -0.1178 -0.2053 0.0405 3.1519 1.1018 -0.1919 -0.1296 -0.2244 0.1360 0.2922 3.2144 -0.1402 -0.0745 -0.1867 0.1096 0.3808 0.2786 1.8527 0.6013 -0.1919 0.2839 0.6709 0.4447 -0.1222 1.6349 0.1467 1.5590 1.5424 0.7469 -0.1300 -0.0449 0.7517

特征值

这对特征值做了什么？

格式长e = eig (B)

E = 1.000000000000000 + 0.000000000000000i 1.666666666666671 + 0.000000000000000i 1.999999999999999 + 0.000000000000000i 3.000006294572211 + 0.000000000000000i 2.999996852713897 + 0.000005451273553i 2.999996852713897  -  0.000005451273553i

简单的根几乎没有移动。具有多个三个的根目录由大致的立方根扰动精度。

格式短的E3 = E（4：6） -  3;R3 = ABS（E3）圈（E3）

R3 = 1.0E-05 * 0.6295 0.6295 0.6295

特征向量

那个特征向量呢？

[v，〜] = eig（b）;Imagv = imag（v）realv =真实（v）

Imagv = 1.0E-05 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3705-0.3705 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0678 -0.0678 0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0.1225 -0.1225 RealV =-0.0601 -0.0519 -0.0904 -0.6942 0.6942 0.6942 -0.0664 -0.0590 -0.1017 -0.1190 0.1190 0.1190 -0.0742 -0.0683 -0.1162 -0.1487 0.1487 0.1487 -0.3413 -0.9310 -0.9488 -0.1983 0.1983 0.1983 0.2883 0.3258 -0.1627 -0.2975 0.2975 0.2975 -0.8870-0.1275 -0.2033 -0.5950 0.5950 0.5950

最后两个向量有小的虚分量它们的实分量几乎与第四个向量相同。所以只有前四列V是良好的特征向量。我们看B，因此一个，是有缺陷的．它没有完整的线性独立的特征向量。

的特征值

帮助condeig格式短的ekappa = condeig (B)

Condeig条件数字相对于特征值。CONDEIG（A）是A的特征值的条件数字的载体。这些条件数是左和右特征向量之间的角度的横向的互换。[v，d，s] = condeig（a）相当于：[v，d] = eig（a）;s = condeig（a）;大的条件数字意味着A靠近具有多个特征值的矩阵。Class支金宝app持输入A：Float：Double，Single另见Cond。Condeig Doc Condeig Kappa = 1.6014E + 00 2.9058E + 00 2.9286E + 00 1.3213E + 10 1.3213E + 10 1.3213E + 10

仔细看看这些数字 - 前三个上的10的力量为零，而在最后三个中，它是10.这证实了前三个特征值很好，而第四则不是。

约旦规范形式

一个几乎是它自己的JCF，所以这并不奇怪。

A_jcf =乔丹(A)

A_JCF = 3.0000E + 00 1.0000E + 00 0 0 0 0 0 3.0000E + 00 1.0000E + 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.6660 0 0 0 0 0 0 1.6667+00 0 0 0 0 0 0 0 2.0000E + 00

但是关于B？通过精确的计算，它将拥有相同的JCF。

格式短的eb_jcf =约旦（b）;real_b_jcf = real（b_jcf）imag_b_jcf = imag（b_jcf）

real_B_jcf = 1.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 1.6667 e + 00 0 0 0 0 0 0 2.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 3.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 3.0000 e + 00 0 0 0 0 0 0 3.0000 e + 00 imag_B_jcf = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.7873 2.7873 e-06 e-06 0 0 0 0 0 0

计算的JCF是对角线。然而，这是一个事实的例子乔丹规范形式并非计算．也看到Golub和威尔金森．

并且节拍继续......

当我尝试这个时，我即将说明帖子的尽头。我当时没有意识到它，但使用HPL-AI矩阵的“随机”相似性转变具有一些欢迎后果。该矩阵的元素是小整数的比率。

M =符号(M)

M =(7/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11)(1/5, 7/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10)(1/4, 1/5, 7/6, 1/7, 1/8, 1/9][1/3、1/4、1/5,7/6,1/7,1/8][1/2、1/3、1/4、1/5、7/6,1/7][1 1/2、1/3、1/4、1/5、7/6)

元素一个也是小整数的比例。

信谊(A)

ans = [3,1，0,0,0,0] [0,3,1，0，0，0] [0,0,3,0,0,0] [0,0,0,2，2/3,0] [0,0,0,0,5 / 3,1 / 3] [0,0,0,0,0,1]

元素inv（m）是大型整数的比例，但我不必向他们展示，因为我们不会倒置米,甚至是象征性的。相反,我们使用正斜杠计算相似性转换。

b = m * a / m;

元素B也是大型整数的比率。让我们看看第一列;其他列是相似的。

B1 = B（：，1）

B1 =1718872313588352715分之52615342402439271411718872313588352715分之69679116377352174343774462717670543分之4673887396726086026444189439820811分之2898457606578534343774462717670543分之976022627792141161718872313588352715分之2679724812276211392

JCF.

通过这种确切的象征性计算，特征多项式B是P3.．

charpoly (B,“年代”）

ans = s ^ 6 - (41 * s ^ 5) / 3 + 76 * s ^ 4 - (658 * s ^ 3) / 3 + 345 * s ^ 2 - 279 + 90

结果，JCF的B是正确的。

约旦（B）

ans = [1,0,0,0,0,0] [0,5 / 3,0,0,0,0] [0,0,2,0,0,0] [0,0,0，3,1，0，0,3,1] [0,0,0,0,0,3]

符号特征向量

符号版本的第三个输出参数eig是一个矢量，其长度是线性独立的特征向量的数量。这是总和几何多样性．在这种情况下，它是4。

[v，e，k] = eig（b）

V = [11/27,463 / 6831,4 / 9,7 / 6] [25/54,31 / 414,1 / 2,1 / 5] [15/28,485 / 5796,4 / 7,1/ 4] [460/63,1115 / 2898,14 / 3,1 / 3] [-23/9，-157 / 483,4 / 5,1 / 2] [1,1,1,1] E =[5/3,0,0,0,0,0] [0,1,0,0,0,0] [0,0,2,0,0,0] [0,0,0,3，0，0] [0，0,0,0,3,0] [0，0,0,0,0,3] k = 1 2 3 4

查看

验证特征向量是否有效。

bv = b * v ve_k = v * e（k，k）

BV = [55/81,463 / 6831,8 / 9,7 / 2] [125/162,31 / 414,1,3 / 5] [25/28,485 / 5796,8 / 7,3 / 4] [2300/189,1115 / 2898,28 / 3,1] [-115/27，-157 / 483,8 / 5,3 / 2] [5/3,1,2,3] Ve_k = [55/ 81,463 / 6831,8 / 9,7 / 2] [125 / 162,31 / 414,1,3 / 5] [25/28,485 / 5796,8 / 7,3 / 4] [2300 /189,1115 / 2898,28 / 3,1] [-115/27，-157 / 483,8 / 5,3 / 2] [5/3,1,2,3]